Question

13．已知$f（x）=-\frac{1}{2}a{x^2}+x-ln（1+x）$，其中a＞0．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=3處取得極值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函數(shù)f（x）（a＞0）的定義域?yàn)椋?1，+∞），令f′（3）=0，解 得a，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證即可．
（ⅠI）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分別討論①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，②當(dāng)a=1時(shí)③當(dāng)a＞1時(shí)的情況，從而求出函數(shù)的遞減區(qū)間；
（ⅡI）討論①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，②當(dāng)a≥1時(shí)的函數(shù)的單調(diào)性，從而求出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）（a＞0）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
f′（x）=-ax+1-$\frac{1}{1+x}$，
令f′（3）=0，解 得a=$\frac{1}{4}$．經(jīng)過(guò)驗(yàn)證滿足條件．
（II）令f′（x）=$\frac{-ax（x-\frac{1-a}{a}）}{1+x}$=0，解得x₁=0，或x₂=$\frac{1-a}{a}$．
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x₁＜x₂，
f（x）與f′（x）的變化情況如表

x	（-1，0）	0	（0，$\frac{1}{a}$-1）	$\frac{1}{a}$-1	（$\frac{1}{a}$-1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	減	極小值	增	極大值	減

所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，0），（$\frac{1}{a}$-1，+∞）；單調(diào)遞增區(qū)間為：$（0，\frac{1}{a}-1）$．
②當(dāng)a=1時(shí)，x₁=x₂=0，f′（x）=-$\frac{{x}^{2}}{1+x}$≤0，
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，+∞）．
③當(dāng)a＞1時(shí)，-1＜x₂＜0，
f（x）與f′（x）的變化情況如下表

x	（-1，$\frac{1}{a}$-1）	$\frac{1}{a}$-1	（$\frac{1}{a}$-1，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	減	極小值	增	極大值	減

所以f（x）的單調(diào)遞增減區(qū)間是（-1，$\frac{1}{a}$-1），（0，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間為：$（\frac{1}{a}-1，0）$．
綜上，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增減區(qū)間是（-1，0），（$\frac{1}{a}$-1，+∞）；單調(diào)遞增區(qū)間為：$（0，\frac{1}{a}-1）$．
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增減區(qū)間是（-1，$\frac{1}{a}$-1），（0，+∞）；單調(diào)遞增區(qū)間為：$（\frac{1}{a}-1，0）$．
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，+∞）．
（ⅡI）由（ⅠI）可知：
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（0，+∞）的最大值是f（$\frac{1}{a}$-1），但f（$\frac{1}{a}$-1）＞f（0）=0，所以0＜a＜1不合題意；
②當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
f（x）≤f（0），可得f（x）在[0，+∞）上的最大值為f（0）=0，符合題意．
∴f（x）在[0，+∞）上的最大值為0時(shí)，a的取值范圍是{a|a≥1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．