分析 (1)由已知列式求得c2,結(jié)合隱含條件求得b2,則橢圓方程可求;
(2)把x=1代入橢圓方程,求出P,Q的坐標(biāo),設(shè)出M的坐標(biāo),分別寫出PM,QM的方程,取y=0求出R,S的橫坐標(biāo),代入|OR|•|OS|,結(jié)合M在橢圓上可得|OR|•|OS|為常數(shù)9.
解答 (1)解:由AF1=2AF2,且∠F1AF2=90°,得$\left\{\begin{array}{l}{A{F}_{1}=2A{F}_{2}}\\{A{F}_{1}+A{F}_{2}=6}\\{A{{F}_{1}}^{2}+A{{F}_{2}}^{2}=4{c}^{2}}\end{array}\right.$,
解得:c2=5,∴b2=a2-c2=4,
∴橢圓方程為:$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$;
(2)證明:把x=1代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$,得P(1,$\frac{4\sqrt{2}}{3}$),Q(1,-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$),
設(shè)M(x0,y0),則${k}_{PM}=\frac{{y}_{0}-\frac{4\sqrt{2}}{3}}{{x}_{0}-1}$,直線PM:$y-\frac{4\sqrt{2}}{3}=\frac{{y}_{0}-\frac{4\sqrt{2}}{3}}{{x}_{0}-1}(x-1)$,
取y=0,可得${x}_{R}=\frac{3{y}_{0}-4\sqrt{2}{x}_{0}}{3{y}_{0}-4\sqrt{2}}$;同理可得:xS=$\frac{3{y}_{0}+4\sqrt{2}{x}_{0}}{3{y}_{0}+4\sqrt{2}}$.
∴|OR|•|OS|=|$\frac{9{{y}_{0}}^{2}-32{{x}_{0}}^{2}}{9{{y}_{0}}^{2}-32}$|,①
∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}=1$,∴$9{{y}_{0}}^{2}=36-4{{x}_{0}}^{2}$,代入①,得|OR|•|OS|=|$\frac{9{{y}_{0}}^{2}-32{{x}_{0}}^{2}}{9{{y}_{0}}^{2}-32}$|=|$\frac{36(1-{{x}_{0}}^{2})}{4(1-{{x}_{0}}^{2})}$|=9.
∴|OR|•|OS|為常數(shù)9.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法,是中檔題.
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A. | (-∞,0)∪(0,+∞) | B. | (0,+∞) | C. | (2015,+∞) | D. | (-∞,0)∪(2015,+∞) |
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