Question

7．已知點A（1，$\sqrt{2}$）是離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$的橢圓C：$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$（a＞b＞0）上的一點，斜率為$\sqrt{2}$的直線BD交橢圓C于B、D兩點，且A、B、D三點不重合
（ I）求橢圓C的方程；
（ II）求證：直線AB，AD的斜率之和為定值
（ III）△ABD面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由點A（1，$\sqrt{2}$）是離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$的橢圓C：$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$（a＞b＞0）上的一點，列出方程組求出a=2，$b=\sqrt{2}$，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)D（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB、AD的斜率分別為：k_AB、k_AD，設(shè)直線BD的方程為$y=\sqrt{2}x+b$，聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}x+b}\\{2{x^2}+{y^2}=4}\end{array}}\right.$$，得4{x^2}+2\sqrt{2}bx+{b^2}-4=0$，由此利用根的判別式、韋達定理，結(jié)合已知條件能證明直線AB，AD的斜率之和為定值．
（Ⅲ）|BD|=$\sqrt{1+（\sqrt{2}）^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$$\sqrt{8-^{2}}$，求出點A到直線BD：$y=\sqrt{2}x+b$的距離$d=\frac{|b|}{{\sqrt{3}}}$，由此能求出當(dāng)b=±2時，△ABD的面積最大，最大值為$\sqrt{2}$．

解答 解：（Ⅰ）∵點A（1，$\sqrt{2}$）是離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$的橢圓C：$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$（a＞b＞0）上的一點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{1}{^{2}}+\frac{2}{{a}^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，$b=\sqrt{2}$，$c=\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1$．…（2分）
證明：（Ⅱ）設(shè)D（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB、AD的斜率分別為：k_AB、k_AD，
則k_AD+k_AB=$\frac{{{y_1}-\sqrt{2}}}{{{x_1}-1}}+\frac{{{y_2}-\sqrt{2}}}{{{x_2}-1}}=\frac{{\sqrt{2}{x_1}+b-\sqrt{2}}}{{{x_1}-1}}+\frac{{\sqrt{2}{x_2}+b-\sqrt{2}}}{{{x_2}-1}}$
=$2\sqrt{2}+b[\frac{{{x_1}+{x_2}-2}}{{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1}}]$，（*）
設(shè)直線BD的方程為$y=\sqrt{2}x+b$，
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}x+b}\\{2{x^2}+{y^2}=4}\end{array}}\right.$$，得4{x^2}+2\sqrt{2}bx+{b^2}-4=0$，
∴△=-8b²+64＞0，解得-2$\sqrt{2}$＜b＜2$\sqrt{2}$，${x_1}+{x_2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}b$，----①，${x_1}{x_2}=\frac{{{b^2}-4}}{4}$-----②，
將①、②式代入*式整理得$2\sqrt{2}+b[\frac{{{x_1}+{x_2}-2}}{{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1}}]$=0，
∴k_AD+k_AB=0，∴直線AB，AD的斜率之和為定值．
解：（Ⅲ）|BD|=$\sqrt{1+（\sqrt{2}）^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{64-8^{2}}}{4}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$$\sqrt{8-^{2}}$，
設(shè)d為點A到直線BD：$y=\sqrt{2}x+b$的距離，∴$d=\frac{|b|}{{\sqrt{3}}}$，
∴${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}|{BD}|d=\frac{{\sqrt{2}}}{4}\sqrt{（8-{b^2}）{b^2}}≤\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)b=±2時取等號，
∵±2$∈（-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$，∴當(dāng)b=±2時，△ABD的面積最大，最大值為$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查兩直線的斜率之和為定值的證明，考查三角形面積是否有最大值的判斷與求法，涉及到橢圓、直線方程、弦長公式、點到直線的距離公式、根的判別式、韋達定理等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．