Question

15．已知函數(shù)f（x）定義域為R，且f'（x）＞1-f（x），f（0）=2，則不等式f（x）＞1+e^-x的解集為（0，+∞）．

Answer 1

分析 f（x）＞1+e^-x，等價于e^xf（x）-e^x-1＞0，設(shè)g（x）=e^xf（x）-e^x-1，g（0）=0，則g（x）＞g（0），確定g（x）是R上的增函數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵f（x）＞1+e^-x，∴e^xf（x）-e^x-1＞0，
設(shè)g（x）=e^xf（x）-e^x-1，
∵f′（x）＞1-f（x），e^x＞0，
∴g′（x）=e^x[f（x）+f′（x）-1]＞0，
∴g（x）是R上的增函數(shù)，
又g（0）=0，則g（x）＞g（0）．
∴x＞0，
∴不等式f（x）＞1+e^-x的解集為（0，+∞）．
故答案為：（0，+∞）．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵，是中檔題．