Question

7．已知平面向量$|{\overrightarrow α}|=|{\overrightarrow β}|=\sqrt{3}$且$\overrightarrow α$與 $\overrightarrow β-\overrightarrow α$的夾角為150°，則$|{t\overrightarrow α+\frac{1-t}{2}\overrightarrow β}|$（t∈R）的取值范圍是[$\frac{3\sqrt{7}}{14}$，+∞）．

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{α}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{β}$，則$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{α}$，△OAB為等腰三角形，且∠AOB=120°，∠OAB=∠OBA=30°，求得$\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{3}$•cos120°=-$\frac{3}{2}$，再根據(jù) $|{t\overrightarrow α+\frac{1-t}{2}\overrightarrow β}|$=$\sqrt{{（t•\overrightarrow{a}+\frac{1-t}{2}•\overrightarrow{β}）}^{2}}$，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的范圍．

解答 解：∵平面向量$|{\overrightarrow α}|=|{\overrightarrow β}|=\sqrt{3}$且$\overrightarrow α$與 $\overrightarrow β-\overrightarrow α$的夾角為150°，
如圖，設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{α}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{β}$，則$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{α}$，
∴△OAB為等腰三角形，且∠AOB=120°，∠OAB=∠OBA=30°，
∴$\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{3}$•cos120°=-$\frac{3}{2}$，
∴$|{t\overrightarrow α+\frac{1-t}{2}\overrightarrow β}|$=$\sqrt{{（t•\overrightarrow{a}+\frac{1-t}{2}•\overrightarrow{β}）}^{2}}$=$\sqrt{{3t}^{2}+t（1-t）•\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}{+（\frac{1-t}{2}）}^{2}•3}$
=$\sqrt{{3t}^{2}+t（1-t）•（-\frac{3}{2}）+\frac{3}{4}•{（t}^{2}-2t+1）}$=$\sqrt{\frac{21}{4}{（t}^{2}-\frac{4}{7}t）+\frac{3}{4}}$=$\sqrt{\frac{21}{4}{•（t-\frac{2}{7}）}^{2}+\frac{9}{28}}$≥$\frac{3\sqrt{7}}{14}$，
故答案為：[$\frac{3\sqrt{7}}{14}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的夾角、直角三角形的邊角關(guān)系、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．