Question

13．已知a，b是實數(shù)，1和-1是函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx的兩個極值點．設h（x）=f（f（x））-c，其中c∈（-2，2），函數(shù)y=h（x）的零點個數(shù)（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 11

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)1和-1是函數(shù)的兩個極值點代入列方程組，求解a，b．令f（x）=t，則h（x）=f（t）-c．
先討論關于x的方程f（x）=d根的情況，d∈[-2，2]，當|d|=2時，由（2 ）可知，f（x）=-2的兩個不同的根為1和一2，注意到f（x）是奇函數(shù)，f（x）=2的兩個不同的根為-1和2．當|d|＜2時，先分|d|=2和|d|＜2討論關于的方程f（x）=d的情況；再考慮函數(shù)y=h（x）的零點．

解答 解：（1）由 f（x）=x³+ax²+bx，得 f′（x）=3x²+2ax+b．
∵1和-1是函數(shù)f（x）的兩個極值點，
∴f′（1）=3-2a+b=0，f′（-1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=-3．
得，f（x）=x³-3x，
令f（x）=t，h（x）=f（f（x））-c，則h（x）=f（t）-c．c∈（-2，2），
 先討論關于x的方程f（x）=d根的情況，d∈[-2，2]
當|d|=2時，由（2 ）可知，f（x）=-2的兩個不同的根為1和一2，注意到f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）=2的兩個不同的根為-1和2．
當|d|＜2時，∵f（-1）-d=f（2）-d=2-d＞0，f（1）-d=f（-2）-d=-2-d＜0，
∴一2，-1，1，2 都不是f（x）=d 的根．
由（1）知，f′（x）=3（x+1）（x-1）．
①當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，于是f（x）是單調增函數(shù)，從而f（x）＞f（2）=2．
此時f（x）=d在（2，+∞）無實根．
②當x∈（1，2）時，f′（x）＞0，于是f（x）是單調增函數(shù)．
又∵f（1）-d＜0，f（2）-d＞0，y=f（x）-d的圖象不間斷，
∴f（x）=d在（1，2 ）內有唯一實根．
同理，在（一2，一1）內有唯一實根．
③當x∈（-1，1）時，f′（x）＜0，于是f（x）是單調減函數(shù)．
又∵f（-1）-d＞0，f（1）-d＜0，y=f（x）-d的圖象不間斷，
∴f（x）=d在（一1，1 ）內有唯一實根．
因此，當|d|=2 時，f（x）=d 有兩個不同的根 x₁，x₂，滿足|x₁|=1，|x₂|=2；當|d|＜2時，f（x）=d 有三個不同的根x₃，x₄，x₅，滿足|x_i|＜2，i=3，4，5．
現(xiàn)考慮函數(shù)y=h（x）的零點：
（ i ）當|c|=2時，f（t）=c有兩個根t₁，t₂，滿足|t₁|=1，|t₂|=2．而f（x）=t₁有三個不同的根，f（x）=t₂有兩個不同的根，故y=h（x）有5 個零點．
（ i i  ）當|c|＜2時，f（t）=c有三個不同的根t₃，t₄，t₅，滿足|t_i|＜2，i=3，4，5．
而f（x）=t_i有三個不同的根，故y=h（x）有9個零點．
綜上所述，當|c|=2時，函數(shù)y=h（x）有5個零點；當|c|＜2時，函數(shù)y=h（x）有9 個零點．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的零點，考查分類討論的數(shù)學思想，綜合性強，難度大．