分析 (1)由${a_1}=\frac{1}{6},{a_{n+1}}=\frac{1}{3}({a_n}-1)$,變形為${a_{n+1}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}({a_n}+\frac{1}{2})$,利用等比數(shù)列的通項公式即可得出.
(2)利用等比數(shù)列的求和公式、數(shù)列的單調(diào)性即可得出.
解答 證明:(1)∵${a_1}=\frac{1}{6},{a_{n+1}}=\frac{1}{3}({a_n}-1)$,∴${a_{n+1}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}({a_n}+\frac{1}{2})$
故$\left\{{{a_n}+\frac{1}{2}}\right\}$是首項為${a_1}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$,公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列,且${a_n}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3^n}$
故${a_n}=\frac{2}{3^n}-\frac{1}{2}$.
(2)${a_1}+{a_2}+…+{a_n}=2(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{3^n})-\frac{n}{2}$=$\frac{2×\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{{3}^{n}})}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{2}$=$(1-\frac{1}{3^n})-\frac{n}{2}<\frac{2-n}{2}$
故${a_1}+{a_2}+…+{a_n}<\frac{2-n}{2}$.
點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的求和公式、數(shù)列的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
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A. | 8 | B. | 9 | C. | 10 | D. | 11 |
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A. | 2 | B. | 4 | C. | 6 | D. | 由k的值確定 |
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A. | $\frac{2}{5}$ | B. | $\frac{3}{5}$ | C. | $\frac{4}{5}$ | D. | 1 |
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