2.已知數(shù)列{an}滿足a1=$\frac{1}{6}$,an+1=$\frac{1}{3}$(an-1).
(1)證明:{an+$\frac{1}{2}$}是等比數(shù)列,并求{an}的通項公式;
(2)證明:a1+a2+…+an<$\frac{2-n}{2}$.

分析 (1)由${a_1}=\frac{1}{6},{a_{n+1}}=\frac{1}{3}({a_n}-1)$,變形為${a_{n+1}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}({a_n}+\frac{1}{2})$,利用等比數(shù)列的通項公式即可得出.
(2)利用等比數(shù)列的求和公式、數(shù)列的單調(diào)性即可得出.

解答 證明:(1)∵${a_1}=\frac{1}{6},{a_{n+1}}=\frac{1}{3}({a_n}-1)$,∴${a_{n+1}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}({a_n}+\frac{1}{2})$
故$\left\{{{a_n}+\frac{1}{2}}\right\}$是首項為${a_1}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$,公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列,且${a_n}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3^n}$
故${a_n}=\frac{2}{3^n}-\frac{1}{2}$.
(2)${a_1}+{a_2}+…+{a_n}=2(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{3^n})-\frac{n}{2}$=$\frac{2×\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{{3}^{n}})}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{2}$=$(1-\frac{1}{3^n})-\frac{n}{2}<\frac{2-n}{2}$
故${a_1}+{a_2}+…+{a_n}<\frac{2-n}{2}$.

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的求和公式、數(shù)列的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

14.已知函數(shù)f(x)=x+1-eax(a∈R)
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當$x∈[\frac{1}{a},\frac{2}{a}]$時,$f(x)≥f(\frac{2}{a})$,求a的取值范圍;
(3)證明:?t∈[-1,1],使得f(t)<0.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.已知a,b是實數(shù),1和-1是函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx的兩個極值點.設(shè)h(x)=f(f(x))-c,其中c∈(-2,2),函數(shù)y=h(x)的零點個數(shù)( 。
A.8B.9C.10D.11

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

10.已知函數(shù)f(x)=x2+3x+a
(1)當a=-2時,求不等式f(x)>2的解集
(2)若對任意的x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

17.若下列方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+2ax-2a=0,x2+(a-1)x+a2=0至少有一個方程有實根,則實數(shù)a的取值范圍為{a|a≥-1或a≤-$\frac{3}{2}$}..

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

7.拋物線y2=2px的焦點為F,過點F斜率為k的直線交拋物線于A,B兩點,以AB為直徑的圓與直線k:x=-2相切,則p的值為(  )
A.2B.4C.6D.由k的值確定

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

14.已知底面為矩形的四棱錐D-ABCE,AB=1,BC=2,AD=3,DE=$\sqrt{5}$,且二面角D-AE-C的正切值為-2.
(1)求證:平面ADE⊥平面CDE;
(2)求點D到平面ABCE的距離;
(3)求二面角A一BD-C的大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

11.在直角坐標系中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立坐標系.已知曲線C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),過點P(-2,-4)且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l與曲線C分別交于M,N兩點.
(1)寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的參數(shù)方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

14.學(xué)校體育隊共有5人,其中會打排球的有2人,會打乒乓球的有5人,現(xiàn)從中選2人.設(shè)ξ為選出的人中既會打排球又會打乒乓球的人數(shù),則隨機變量ξ的均值E(ξ)=( 。
A.$\frac{2}{5}$B.$\frac{3}{5}$C.$\frac{4}{5}$D.1

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案