Question

9．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA₁=2，D是棱AA₁的中點．   
（Ⅰ）求證：B₁C₁∥平面BCD；
（Ⅱ）求三棱錐B-C₁CD的體積；
（Ⅲ）在線段BD上是否存在點Q，使得CQ⊥BC₁？請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ABC-A₁B₁C₁為棱柱，可得B₁C₁∥BC，再由線面平行的判定可得B₁C₁∥平面BCD；
（Ⅱ）由D為棱AA₁的中點求出三角形CC₁D，再證明BC⊥平面CDC₁，即可求得三棱錐B-C₁CD的體積；
（Ⅲ）以C為原點，分別以CA、CB、CC₁所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標系，求出所用點的坐標，假設在線段BD上存在點Q，使得CQ⊥BC₁，求出Q的坐標，由數(shù)量積為0得答案．

解答 （Ⅰ）證明：∵ABC-A₁B₁C₁為棱柱，則B₁C₁∥BC，
∵B₁C₁?平面BCD，BC?平面BCD，則B₁C₁∥平面BCD；
（Ⅱ）解：∵D為棱AA₁的中點，∴${S}_{△C{C}_{1}D}=\frac{1}{2}{S}_{AC{C}_{1}{A}_{1}}=\frac{1}{2}×1×2=1$，
∵AA₁⊥底面ABC，∴BC⊥AA₁，又BC⊥AC，且AC∩AA₁=A，
∴BC⊥平面CDC₁，
∴${V}_{B-{C}_{1}CD}$=$\frac{1}{3}×1×1=\frac{1}{3}$；
（Ⅲ）解：線段BD上存在點Q（$\frac{1}{3}，\frac{2}{3}，\frac{1}{3}$），使得CQ⊥BC₁ ．
事實上，以C為原點，分別以CA、CB、CC₁所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標系，
則C（0，0，0），B（0，1，0），C₁（0，0，2），D（1，0，1），
假設在線段BD上存在點Q，使得CQ⊥BC₁，設Q（x，y，z），
再設$\overrightarrow{BQ}=λ\overrightarrow{BD}$，則（x，y-1，z）=λ（1，-1，1），得x=λ，y=1-λ，z=λ，
則Q（λ，1-λ，λ），
∴$\overrightarrow{CQ}$=（λ，1-λ，λ），$\overrightarrow{B{C}_{1}}=（0，-1，2）$，
由$\overrightarrow{CQ}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=λ-1+2λ=0$，得$λ=\frac{1}{3}$．
∴線段BD上存在點Q（$\frac{1}{3}，\frac{2}{3}，\frac{1}{3}$），使得CQ⊥BC₁ ．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用空間向量求線面角，是中檔題．