Question

18．等比數(shù)列{a_n}滿足a_n＞0，n=1，2，…，且a₂•a_n-1=2（n≥2），則當(dāng)n≥2時(shí)，log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+log₂a₄+…+log₂a_n-1+log₂a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-1}{2}+lo{g}_{2}{a}_{\frac{n}{2}}，n為奇數(shù)}\\{\frac{n}{2}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 n為奇數(shù)時(shí)，log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+log₂a₄+…+log₂a_n-1+log₂a_n=$lo{g}_{2}[（{a}_{1}{a}_{n}）×（{a}_{2}{a}_{n-1}）×（{a}_{3}{a}_{n-2}）×…×（{a}_{\frac{n-1}{2}}{a}_{\frac{n+3}{2}}）×{a}_{\frac{n}{2}}]$；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+log₂a₄+…+log₂a_n-1+log₂a_n+1=log₂[（a₁a_n）×（a₂a_n-1）×（a₃a_n-2）×…×（${a}_{\frac{n}{2}}{a}_{\frac{n}{2}+1}$）]，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}滿足a_n＞0，n=1，2，…，且a₂•a_n-1=2（n≥2），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，
n為奇數(shù)時(shí)，
log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+log₂a₄+…+log₂a_n-1+log₂a_n
=$lo{g}_{2}[（{a}_{1}{a}_{n}）×（{a}_{2}{a}_{n-1}）×（{a}_{3}{a}_{n-2}）×…×（{a}_{\frac{n-1}{2}}{a}_{\frac{n+3}{2}}）×{a}_{\frac{n}{2}}]$
=$lo{g}_{2}{2}^{\frac{n-1}{2}}$+$lo{g}_{2}{a}_{\frac{n}{2}}$
=$\frac{n-1}{2}$+$lo{g}_{2}{a}_{\frac{n}{2}}$．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+log₂a₄+…+log₂a_n-1+log₂a_n+1
=log₂[（a₁a_n）×（a₂a_n-1）×（a₃a_n-2）×…×（${a}_{\frac{n}{2}}{a}_{\frac{n}{2}+1}$）]
=$lo{g}_{2}{2}^{\frac{n}{2}}$=$\frac{n}{2}$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-1}{2}+lo{g}_{2}{a}_{\frac{n}{2}}，n為奇數(shù)}\\{\frac{n}{2}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．