Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，E為PC的中點(diǎn)，且$PD=AD=\frac{1}{2}AB=4$．
（1）過(guò)點(diǎn)A作一條射線AG，使得AG∥BD，求證：平面PAG∥平面BDE；
（2）若點(diǎn)F為線段PC上一點(diǎn)，且DF⊥平面PBC，求四棱錐F-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）在矩形ABCD中，連結(jié)AC和BD交于點(diǎn)O，連接OE，則O是AC的中點(diǎn)，從而OE∥PA，進(jìn)而PA∥平面BDE，由AG∥BD，得AG∥平面BDE，由此能證明平面PAG∥平面BDE．
（2）由DF⊥PC，過(guò)F作FK∥PD，交CD于K，則FK⊥底面ABCD，由此能求出四棱錐F-ABCD的體積．

解答 證明：（1）在矩形ABCD中，連結(jié)AC和BD交于點(diǎn)O，
連接OE，則O是AC的中點(diǎn)，
∵E是PC的中點(diǎn)，∴OE是△PAC的中位線，∴OE∥PA，
又OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE，
又AG∥BD，同理得AG∥平面BDE，
∵PA∩AG=A，∴平面PAG∥平面BDE．
解：（2）∵DF⊥平面PBC，∴DF⊥PC．
在Rt△PDC中，∵PD=4，CD=8，∴$PC=4\sqrt{5}$，
∴DF=$\frac{4×8}{4\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，∴FC=$\sqrt{C{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，∴$\frac{FC}{PC}$=$\frac{4}{5}$，
過(guò)F作FK∥PD，交CD于K，則FK=$\frac{4}{5}×4=\frac{16}{5}$，
∵PD⊥底面ABCD，∴FK⊥底面ABCD，
∴${V_{F-ABCD}}=\frac{1}{3}×\frac{16}{5}×4×8=\frac{512}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面平行的證明，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．