4.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn),且其縱坐標(biāo)為4,|PF|=4.
(1)求拋物線的方程;
(2)直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且△OAB的重心為 $(\frac{4}{3},\frac{4}{3})$,求直線l的方程.

分析 (1)設(shè)P(x0,4),通過|PF|=4,結(jié)合拋物線的定義,解得p=4,從而拋物線的方程.
(2)設(shè)直線l的方程為x=ty+m,代入y2=8x利用韋達(dá)定理以及三角形的重心坐標(biāo),求出t,m即可求直線方程.

解答 解:(1)設(shè)P(x0,4),因?yàn)閨PF|=4,由拋物線的定義得${x_0}+\frac{p}{2}=4$,又42=2px0,
因此$\frac{8}{p}+\frac{p}{2}=4$,解得p=4,從而拋物線的方程為y2=8x.
(2)設(shè)直線l的方程為x=ty+m,代入y2=8x得y2-8ty-8m=0,△OAB的重心為 $(\frac{4}{3},\frac{4}{3})$,
由$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=t({y_1}+{y_2})+2m=4\\{y_1}+{y_2}=8t=4\end{array}\right.⇒t=\frac{1}{2},m=1$,∴$x=\frac{1}{2}y+1$
即所求直線方程為:2x-y-2=0.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

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