Question

3．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，0）的距離比它到直線(xiàn)x=-$\frac{5}{2}$的距離小2．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）記P點(diǎn)的軌跡為E，過(guò)點(diǎn)S（2，0）斜率為k₁的直線(xiàn)交E于A(yíng)，B兩點(diǎn)，Q（1，0），延長(zhǎng)AQ，BQ與E交于C，D兩點(diǎn)，設(shè)CD的斜率為k₂，證明：$\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}$為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，0）的距離比它到直線(xiàn)x=-$\frac{5}{2}$的距離小2，可得動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，0）的距離與它到直線(xiàn)x=-$\frac{1}{2}$的距離相等，由此能求出拋物線(xiàn)方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），則k₂=$\frac{{y}_{4}-{y}_{3}}{{x}_{4}-{x}_{3}}$=$\frac{2}{{y}_{4}+{y}_{3}}$=-$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=2k₁，即可得出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：∵動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，0）的距離比它到直線(xiàn)x=-$\frac{5}{2}$的距離小2，
∴動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，0）的距離與它到直線(xiàn)x=-$\frac{1}{2}$的距離相等，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，0）為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y²=2x；
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
則直線(xiàn)AB的方程為y=k₁（x-2），代入拋物線(xiàn)方程中，得${y}^{2}-\frac{2y}{{k}_{1}}-4=0$，
∴y₁+y₂=$\frac{2}{{k}_{1}}$，y₁y₂=-4
直線(xiàn)AC，BD過(guò)點(diǎn)Q（1，0），同理可得y₁y₃=y₂y₄=-2，
∴y₃=-$\frac{2}{{y}_{1}}$，${y}_{4}=-\frac{2}{{y}_{2}}$，
∴k₂=$\frac{{y}_{4}-{y}_{3}}{{x}_{4}-{x}_{3}}$=$\frac{2}{{y}_{4}+{y}_{3}}$=-$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=2k₁，
∴$\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)方程的求法，考查兩直線(xiàn)的斜率的比值是否為定值的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線(xiàn)方程的合理運(yùn)用．