Question

3．已知動點P到點（$\frac{1}{2}$，0）的距離比它到直線x=-$\frac{5}{2}$的距離小2．
（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）記P點的軌跡為E，過點S（2，0）斜率為k₁的直線交E于A，B兩點，Q（1，0），延長AQ，BQ與E交于C，D兩點，設CD的斜率為k₂，證明：$\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}$為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由動點P到點（$\frac{1}{2}$，0）的距離比它到直線x=-$\frac{5}{2}$的距離小2，可得動點P到點（$\frac{1}{2}$，0）的距離與它到直線x=-$\frac{1}{2}$的距離相等，由此能求出拋物線方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），則k₂=$\frac{{y}_{4}-{y}_{3}}{{x}_{4}-{x}_{3}}$=$\frac{2}{{y}_{4}+{y}_{3}}$=-$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=2k₁，即可得出結論．

解答 （Ⅰ）解：∵動點P到點（$\frac{1}{2}$，0）的距離比它到直線x=-$\frac{5}{2}$的距離小2，
∴動點P到點（$\frac{1}{2}$，0）的距離與它到直線x=-$\frac{1}{2}$的距離相等，
∴動點P的軌跡是以點（$\frac{1}{2}$，0）為焦點的拋物線，
∴動點P的軌跡方程為y²=2x；
（Ⅱ）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
則直線AB的方程為y=k₁（x-2），代入拋物線方程中，得${y}^{2}-\frac{2y}{{k}_{1}}-4=0$，
∴y₁+y₂=$\frac{2}{{k}_{1}}$，y₁y₂=-4
直線AC，BD過點Q（1，0），同理可得y₁y₃=y₂y₄=-2，
∴y₃=-$\frac{2}{{y}_{1}}$，${y}_{4}=-\frac{2}{{y}_{2}}$，
∴k₂=$\frac{{y}_{4}-{y}_{3}}{{x}_{4}-{x}_{3}}$=$\frac{2}{{y}_{4}+{y}_{3}}$=-$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=2k₁，
∴$\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}$=2．

點評 本題考查拋物線方程的求法，考查兩直線的斜率的比值是否為定值的判斷與求法，解題時要認真審題，注意直線方程的合理運用．