Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C₁：2x²-y²=1，過C₁的左頂點(diǎn)引C₁的一條漸進(jìn)線的平行線，則該直線與另一條漸進(jìn)線及x軸圍成的三角形的面積（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{8}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{16}$

Answer 1

分析 雙曲線C₁：左頂點(diǎn)A（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），過點(diǎn)A與漸近線y=$\sqrt{2}$x平行的直線方程為y=$\sqrt{2}$x+1，由此能求出該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積．

解答 解：雙曲線C₁：2x²-y²=1，即$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{2}}$-y²=1左頂點(diǎn)A（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
漸近線方程y=±$\sqrt{2}$x，
過點(diǎn)A與漸近線y=$\sqrt{2}$平行的直線方程為y=$\sqrt{2}$（x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
即y=$\sqrt{2}$x+1，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{2}x}\\{y=\sqrt{2}x+1}\end{array}\right.$，得x=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，y=$\frac{1}{2}$
∴該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積：S=$\frac{1}{2}$|OA|•|y|=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{8}$，
故選：C

點(diǎn)評 本題考查三角形面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．