Question

12．若直線ax-by+2=0 （a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦長為4，則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為（　　）

• A． $\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{3}{2}$+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先求出圓心和半徑，由弦長公式求得圓心到直線ax-by+2=0的距離d=0，直線ax-by+2=0經(jīng)過圓心，可得$\frac{1}{2}$a+b=1，代入式子再利用基本不等式可求式子的最小值．

解答 解：圓x²+y²+2x-4y+1=0 即 （x+1）²+（y-2）²=4，圓心為（-1，2），半徑為2，
設(shè)圓心到直線ax-by+2=0的距離等于d，則由弦長公式得2$\sqrt{4-jxnbvbb^{2}}$=4，
解得d=0，即
直線ax-by+2=0經(jīng)過圓心，
∴-a-2b+2=0，
∴$\frac{1}{2}$a+b=1，
∴（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）（$\frac{1}{2}$a+b）=$\frac{1}{2}$+1+$\frac{a}$+$\frac{a}{2b}$≥$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}{2b}}$=$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=$\sqrt{2}$b時等號成立，
故式子的最小值為$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$，
故選：A

點評 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，弦長公式以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題