Question

7．已知函數f（x）=ax+1nx（a∈R），g（x）=e^x．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）證明：當a=0時，g（x）＞f（x）+2．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的定義域是（0，+∞），導函數$f'（x）=a+\frac{1}{x}，（x＞0）$，通過1⁰當a≥0時；2⁰當a＜0時，求解函數的單調區(qū)間．
（2）求出函數的定義域，化簡令F（X）=e^x-lnx，求出導函數，通過二次求導，求出函數的最值，判斷導數的符號，得到函數的單調性，然后求解函數的最值即可．

解答 （本小題滿分12分）
解（1）f（x）的定義域是（0，+∞），$f'（x）=a+\frac{1}{x}，（x＞0）$1⁰當a≥0時，f'（x）＞0，所以在（0，+∞）單調遞增；2⁰當a＜0時，由f'（x）=0，解得$x=-\frac{1}{a}$．
則當$x∈（0，-\frac{1}{a}）$時． f'（x）＞0，所以f（x）單調遞增．當$x∈（-\frac{1}{a}，+∞）$時，f'（x）＜0，所以f（x）單調遞減．
綜上所述：當a≥0時，f（x）增區(qū)間是（0，+∞）；
當a＜0時，f（x）增區(qū)間是$（0，-\frac{1}{a}）$，減區(qū)間是$（-\frac{1}{a}，+∞）$．                 …（4分）
（2）f（x）=lnx，f（x）與g（x）的公共定義域為（0，+∞），
令F（X）=e^x-lnx，$F'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，$F''（x）={e^x}+\frac{1}{x^2}＞0$，所以F'（x）單調遞增
因為$F'（\frac{1}{2}）=\sqrt{e}-2＜0，F'（1）=e-1＞0$，
所以存在唯一${x_0}∈（{\frac{1}{2}，1}）$使得$F'（{x_0}）={e^{x_0}}-\frac{1}{x_0}=0$，∴${x_0}={e^{-{x_0}}}$
且當x∈（0，x₀）時F'（x）＜0，F（x）遞減； 當x∈（x₀，+∞）時F'（x）＞0，F（x）當遞增；
所以${F_{min}}（x）=F（{x_0}）={e^{x_0}}-ln{x_0}={e^{x_0}}+{x_0}＞{e^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{2}＞1.6+\frac{1}{2}＞2$
故g（x）＞f（x）+2．                                             …（12分）

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的最值以及函數的單調性的應用，考查轉化思想以及計算能力．