Question

19．已知函數(shù)$f（x）=sinx-\frac{1}{2}x$，x∈[0，π]．那么下列命題中所有真命題的序號(hào)是①④．
①f（x）的最大值是$f（\frac{π}{3}）$
②f（x）的最小值是$f（\frac{π}{3}）$
③f（x）在$[0，\frac{π}{3}]$上是減函數(shù)        
④f（x）在$[\frac{π}{3}，π]$上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 先求導(dǎo)，再研究出它的單調(diào)性確定出最值，再由這些性質(zhì)對四個(gè)命題進(jìn)行比較驗(yàn)證，選出正確命題

解答 解：∵f（x）=sinx-$\frac{1}{2}$x，x∈[0，π]，
∴f′（x）=cosx-$\frac{1}{2}$，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{π}{3}$，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，解得0≤x≤$\frac{π}{3}$，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，解得$\frac{π}{3}$≤x≤π，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)取的最大值，即f（x）的最大值是$f（\frac{π}{3}）$
∵f（0）=sin0-0=0，f（π）=sinπ-$\frac{1}{2}$π=-$\frac{1}{2}$π，
∴函數(shù)的最小值為f（π）=-$\frac{1}{2}$π，
故所有真命題的序號(hào)是①④，
故答案為；①④．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握住用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求最值，由這些結(jié)論對四個(gè)命題的正確性進(jìn)行驗(yàn)證得出正確選項(xiàng)．