5.設f(x)=$\frac{-{2}^{x}+m}{{2}^{x+1}+n}$(m>0,n>0).
(1)當m=n=1時,證明:f(x)不是奇函數(shù);
(2)設f(x)是奇函數(shù),求m與n的值;
(3)在(2)的條件下,求不等式f(f(x))+f($\frac{3}{10}$)<0的解集.

分析 (1)通過當m=n=1時,化簡f(x),通過求解f(-1)≠-f(1),證明f(x)不是奇函數(shù).
(2)通過f(-x)=-f(x),通過待定系數(shù)法求解即可.
(3)判斷f(x)是R上單調減函數(shù).利用單調性轉化求解不等式即可.

解答 (1)證明:當m=n=1時,f(x)=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+1}$.
由于f(1)=$\frac{-2+1}{{2}^{2}+1}$=-$\frac{1}{5}$,f(-1)=$\frac{-\frac{1}{2}+1}{1+1}$=$\frac{1}{4}$,
所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函數(shù).
(2)解:f(x)是奇函數(shù)時,f(-x)=-f(x),
即$\frac{-{2}^{-x}+m}{{2}^{-x+1}+n}$=-$\frac{-{2}^{x}+m}{{2}^{x+1}+n}$,對定義域內任意實數(shù)x成立.
化簡整理得(2m-n)•22x+(2mn-4)•2x+(2m-n)=0,這是關于x的恒等式,
所以2mn-4=0,2m-n=0解得n=-2或n=2.
經(jīng)檢驗m=1,n=2符合題意.
(3)解:由(2)可知,f(x)=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$,
易判斷f(x)是R上單調減函數(shù).
由f(f(x))+f($\frac{3}{10}$)<0,得
f(f(x))<f($\frac{3}{10}$),f(x)>-$\frac{3}{10}$,2x<4,得x<2
即f(x)>0的解集為(-∞,2).

點評 本題考查函數(shù)與方程的綜合應用,考查轉化思想以及計算能力.

練習冊系列答案
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