Question

10．已知{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足點(diǎn)（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）均在函數(shù)f（x）=40-x上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）n為何值時(shí)，S_n的值最大，并求S_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）均在函數(shù)f（x）=40-x上，得到S_n=40n-n²，再根據(jù)的遞推公式得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，
（2）由（1）得S_n=40n-n²=-（n-20）²+400，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答 解：（1）點(diǎn)（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）均在函數(shù)f（x）=40-x上，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=40-n，
∴S_n=40n-n²，
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=40-1²=39，
當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（40n-n²）-[40（n-1）-（n-1）²]=-2n+41，
當(dāng)n=1時(shí)，成立，
∴a_n=-2n+41
（2）由（1）得S_n=40n-n²=-（n-20）²+400，
當(dāng)n=20時(shí)，S_n的值最大，S_n的最大值為400

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)列求通項(xiàng)的方法，屬于中檔題