Question

15．已知直線y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x與雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）交于A、B兩點(diǎn)，若在雙曲線上存在點(diǎn)P，使得|PA|=|PB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由題意，設(shè)|AB|=2m，求出A，P的坐標(biāo)，分別代入雙曲線方程可得$\frac{\frac{5}{9}{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{\frac{4}{9}{m}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{\frac{8}{9}{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{\frac{10}{9}{m}^{2}}{^{2}}$=1，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，設(shè)|AB|=2m，A在第一象限，則A的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{5}}{3}$m，$\frac{2}{3}$m），
∵|PA|=|PB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|，∴|OP|=$\sqrt{2}$m，OP⊥AB，
∴P的坐標(biāo)為（-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$m，$\frac{\sqrt{10}}{3}$m），
A，P分別代入雙曲線方程可得$\frac{\frac{5}{9}{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{\frac{4}{9}{m}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{\frac{8}{9}{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{\frac{10}{9}{m}^{2}}{^{2}}$=1，
∴b=$\sqrt{2}$a，∴c=$\sqrt{3}a$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
故選B．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，求出A，P的坐標(biāo)是關(guān)鍵．