Question

5．若以O(shè)為極點(diǎn)，在極坐標(biāo)系Ox中，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{{\sqrt{2}}}{{sin（{θ+\frac{π}{4}}）}}$；以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，取相同的單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，曲線C₂為橢圓，且以C₁與x軸的交點(diǎn)F為焦點(diǎn)，C₂參數(shù)方程的橫坐標(biāo)表示為x=4cosα．
（1）求曲線C₁的直角坐標(biāo)方程和C₂參數(shù)方程的縱坐標(biāo)表達(dá)式；
（2）定點(diǎn)P為C₁上θ=$\frac{π}{4}$的點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在C₂上，求|MP|+|MF|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化方法求曲線C₁的直角坐標(biāo)方程和C₂參數(shù)方程的縱坐標(biāo)表達(dá)式；
（2）利用橢圓的定義，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可求|MP|+|MF|的取值范圍．

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{{\sqrt{2}}}{{sin（{θ+\frac{π}{4}}）}}$=$\frac{2}{sinθ+cosθ}$，∴x+y=2，∴F（2，0）；
由題意，曲線C₂為橢圓，c=2，a=4，∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1，
∴C₂參數(shù)方程的縱坐標(biāo)表達(dá)式為y=2$\sqrt{3}$sinα；
（2）定點(diǎn)P（1，1），設(shè)左焦點(diǎn)為F₁，|PF₁|=$\sqrt{10}$
∴|MP|+|MF|=|MP|+8-|MF₁|，
∴8-$\sqrt{10}$≤|MP|+|MF|$≤8+\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．