13.[A]已知函數(shù)f(x)=alnx+$\frac{1-a}{2}{x}^{2}-x$,0<a<1.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)關(guān)于x的不等式f(x)<$\frac{a}{a-1}$在[1,+∞)上有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)f′(x)=$\frac{a}{x}$+(1-a)x-1=$\frac{(1-a)(x-\frac{a}{1-a})(x-1)}{x}$(x>0).(0<a<1).對a分類討論:①當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí);②$0<a<\frac{1}{2}$時(shí),$0<\frac{a}{1-a}<1$;③$\frac{1}{2}<a<1$時(shí),$\frac{a}{1-a}>1$.利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出單調(diào)區(qū)間.
(2)關(guān)于x的不等式f(x)<$\frac{a}{a-1}$在[1,+∞)上有解,可得f(x)min<$\frac{a}{a-1}$.由(1)利用單調(diào)性即可得出最小值,解出不等式即可.

解答 解:(1)f′(x)=$\frac{a}{x}$+(1-a)x-1=$\frac{(1-a)(x-\frac{a}{1-a})(x-1)}{x}$(x>0).(0<a<1).
①當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí),f′(x)=$\frac{(x-1)^{2}}{2x}$≥0,因此函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
②$0<a<\frac{1}{2}$時(shí),$0<\frac{a}{1-a}<1$,函數(shù)f(x)在$(0,\frac{a}{1-a})$,(1,+∞)上單調(diào)遞增;在$(\frac{a}{1-a},1)$上單調(diào)遞減.
③$\frac{1}{2}<a<1$時(shí),$\frac{a}{1-a}>1$,函數(shù)f(x)在(0,1),($\frac{a}{1-a}$,+∞)上單調(diào)遞增;在$(1,\frac{a}{1-a})$上單調(diào)遞減.
(2)關(guān)于x的不等式f(x)<$\frac{a}{a-1}$在[1,+∞)上有解,∴f(x)min<$\frac{a}{a-1}$.
由(1)可得:$0<a≤\frac{1}{2}$時(shí),函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,∴x=1時(shí),f(x)取得最小值,f(1)=-$\frac{1+a}{2}$.
∴-$\frac{1+a}{2}$$<\frac{a}{a-1}$,解得$0<a<\sqrt{2}-1$.
$\frac{1}{2}<a<1$時(shí),函數(shù)f(x)在($\frac{a}{1-a}$,+∞)上單調(diào)遞增;在$(1,\frac{a}{1-a})$上單調(diào)遞減.
∴f(x)min=$f(\frac{a}{1-a})$=$aln\frac{a}{1-a}$+$\frac{{a}^{2}-2a}{2(1-a)}$<$\frac{a}{a-1}$.化為:$ln\frac{a}{1-a}$+$\frac{a}{2(1-a)}$<0,
令$\frac{a}{1-a}$=t,∵$\frac{1}{2}<a<1$,∴t>1,g(t)=lnt+$\frac{1}{2}t$>ln1+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}>$0,因此$ln\frac{a}{1-a}$+$\frac{a}{2(1-a)}$<0無解.
綜上可得:實(shí)數(shù)a的求值范圍是$(0,\sqrt{2}-1)$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、解不等式,考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

練習(xí)冊系列答案
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(2)過點(diǎn)P被曲線C1截得弦長為$\sqrt{2}$的直線極坐標(biāo)方程.

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(1)求橢圓C的方程;
(2)橢圓C長軸兩端點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P為橢圓上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),定直線x=4與直線PA,PB分別交于M,N兩點(diǎn),又E(7,0),求證:直線EM⊥直線EN.

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8.已知拋物線C:y2=2px(p>0),焦點(diǎn)F($\frac{p}{2}$,0),如果存在過點(diǎn)M(x0,0)$({x_0}>\frac{p}{2})$的直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,使得S△AOM=λ•S△FAB,則稱點(diǎn)M為拋物線C的“λ分點(diǎn)”.
(1)如果M(p,0),直線l:x=p,求λ的值;
(2)如果M(p,0)為拋物線C的“$\frac{4}{3}$分點(diǎn)”,求直線l的方程;
(3)(普通中學(xué)做)命題甲:證明點(diǎn)M(p,0)不是拋物線C的“2分點(diǎn)”;
(重點(diǎn)中學(xué)做)命題乙:如果M(x0,0)$({x_0}>\frac{p}{2})$是拋物線的“2分點(diǎn)”,求x0的取值范圍.

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(Ⅱ)若不等式f(x)≤$\frac{g′(x)}{2}$+1恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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2.用與球心距離為1的平面去截球,所得截面圓的面積為π,則球的表面積為( 。
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x-20138
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根據(jù)表中數(shù)據(jù),回答下列問題:
(Ⅰ)實(shí)數(shù)c的值為6;當(dāng)x=3時(shí),f(x)取得極大值(將答案填寫在橫線上).
(Ⅱ)求實(shí)數(shù)a,b的值.
(Ⅲ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

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