Question

15．已知橢圓${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且圓${C_2}：{x^2}+{y^2}=4$經(jīng)過橢圓C₁短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，C，D是圓C₂上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線CD交橢圓C₁于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）當(dāng)$|{CD}|=2\sqrt{3}$時(shí)，求|AB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得b=2，運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，進(jìn)而得到所求橢圓方程；
（2）討論直線CD的斜率不存在，求得圓心到直線的距離，求得弦長(zhǎng)AB；直線CD的斜率存在，設(shè)CD：y=kx+m，由點(diǎn)到直線的距離公式和聯(lián)立橢圓方程，消去y，可得x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合換元法和二次函數(shù)的值域求法，即可得到所求AB的范圍．

解答 解：（1）圓${C_2}：{x^2}+{y^2}=4$經(jīng)過橢圓C₁短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，
可得b=2，
離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又c²=a²-b²，
解得c=2，a=2$\sqrt{2}$，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）當(dāng)$|{CD}|=2\sqrt{3}$時(shí)，
圓C₂到直線CD的距離為d=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1，
①當(dāng)CD⊥x軸時(shí)，可將x=±1代入橢圓方程解得y=±$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
可得|AB|=$\sqrt{14}$；
②當(dāng)直線CD的斜率存在時(shí)，設(shè)CD：y=kx+m，
由d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，可得m²=1+k²，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{2}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{4+8{k}^{2}-{m}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$
=2$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）（3+7{k}^{2}）}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$，
可令t=1+2k²（t≥1），即k²=$\frac{1}{2}$（t-1），
則|AB|=2$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{（1+\frac{t-1}{2}）（3+\frac{7t-7}{2}）}{{t}^{2}}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{-\frac{1}{{t}^{2}}+\frac{6}{t}+7}$，
由t≥1，可得0＜$\frac{1}{t}$≤1，
-$\frac{1}{{t}^{2}}$+$\frac{6}{t}$+7=-（$\frac{1}{t}$-3）²+16∈（7，12]，
則$\sqrt{14}$＜|AB|≤2$\sqrt{6}$．
綜上可得|AB|的取值范圍為[$\sqrt{14}$，2$\sqrt{6}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式，考查直線和圓截得的弦長(zhǎng)，注意運(yùn)用勾股定理，以及直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查換元法及二次函數(shù)的值域問題，化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．