11.已知直線l交拋物線y2=-3x于A、B兩點,且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=4(O是坐標(biāo)原點),設(shè)l與x軸的非正半軸交于點F,F(xiàn)、F′分別是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>0,b>0)的左右焦點.若在雙曲線的右支上存在一點P,使得2|$\overrightarrow{PF}$|=3|$\overrightarrow{PF'}$|,則a的取值范圍是[$\frac{4}{5}$,4).

分析 確定F的坐標(biāo),由雙曲線的定義,再根據(jù)點P在雙曲線的右支上,可得|PF2|≥c-a,從而a的取值范圍.

解答 解:設(shè)點A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),
設(shè)直線方程為x=my+n,
聯(lián)立方程,消去x得y2+3my+3n=0,
則y1y2=3n,x1x2=n2,
又$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=4,則x1x2+y1y2=4,
即3n+n2=4,
解得n=1(舍去)或n=-4,
∴F(-4,0),
∵2|$\overrightarrow{PF}$|=3|$\overrightarrow{PF'}$|,
∴由雙曲線的定義可得|$\overrightarrow{PF}$|-|$\overrightarrow{PF'}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{PF'}$|=2a,
∴|$\overrightarrow{PF'}$|=4a,
∵點P在雙曲線的右支上,
∴|PF′|≥c-a,
∴4a≥c-a,∴a≥$\frac{4}{5}$,
∵$\frac{c}{a}$>1,∴a<4,
∴a的取值范圍是[$\frac{4}{5}$,4),
故答案為[$\frac{4}{5}$,4).

點評 本題考查向量數(shù)量積的運用,同時考查直線與拋物線的位置關(guān)系,以及證明直線恒過定點,雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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