Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2a_n-3n（n∈N^*）．
（1）證明數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列，求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{n}{3}$a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（3）數(shù)列{a_n}中是否存在三項，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出一組符合條件的項；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入b_n=$\frac{n}{3}$a_n，然后利用錯位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（3）設(shè)存在s、p、r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s、a_p、a_r成等差數(shù)列，則2a_p=a_s+a_r，得2（3•2^p-3）=3•2^s-3+3•2^r-3，結(jié)合2^p-s+1為偶數(shù)，1+2^r-s為奇數(shù)，可知2^p+1=2^s+2^r不成立，故不存在滿足條件的三項．

解答 （1）證明：∵S_n=2a_n-3n，∴S_n+1=2a_n+1-3（n+1），
則a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，∴a_n+1=2a_n+3，
即$\frac{{a}_{n+1}+3}{{a}_{n}+3}=2$，
∴數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列，
a₁=S₁=3，a₁+3=6，則${a}_{n}+3=6•{2}^{n-1}=3•{2}^{n}$，
∴${a}_{n}=3•{2}^{n}-3$；
（2）解：$_{n}=\frac{n}{3}{a}_{n}=n•{2}^{n}-n$，
${T}_{n}=2+2•{2}^{2}+3•{2}^{3}+…+n•{2}^{n}-（1+2+…+n）$，
令${R}_{n}=2+2•{2}^{2}+3•{2}^{3}+…+n•{2}^{n}$，①
$2{R}_{n}={2}^{2}+2•{2}^{3}+3•{2}^{4}+…+（n-1）•{2}^{n}+n•{2}^{n+1}$，②
①-②得，$-{R}_{n}=2+{2}^{2}+…+{2}^{n}-n•{2}^{n+1}=-（1-{2}^{n}）-n•{2}^{n+1}$，
${R}_{n}=2+（n-1）•{2}^{n+1}$，
∴${T}_{n}=（n-1）•{2}^{n+1}+2-\frac{1}{2}n（n+1）$；
（3）解：設(shè)存在s、p、r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s、a_p、a_r成等差數(shù)列，則2a_p=a_s+a_r，
即2（3•2^p-3）=3•2^s-3+3•2^r-3，
即2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，
∵2^p-s+1為偶數(shù)，1+2^r-s為奇數(shù)，
∴2^p+1=2^s+2^r不成立，故不存在滿足條件的三項．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了錯位相減法求數(shù)列的和，考查數(shù)列的函數(shù)特性，訓(xùn)練了學(xué)生的邏輯思維能力與推理運算能力，是中檔題．