Question

7．已知極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合，圓C的極坐標(biāo)是ρ=2asinθ，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}t+a}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）若a=2，M為直線l與x軸的交點(diǎn)，N是圓C上一動點(diǎn)，求|MN|的最大值；
（2）若直線l被圓C截得的弦長為$2\sqrt{6}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}t+a}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$，a=2時，化為普通方程：$y=-\frac{4}{3}$（x-2）．可得M（2，0）．圓C的極坐標(biāo)是ρ=2asinθ，即ρ²=4ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程，求出|MC|=2$\sqrt{2}$，可得|MN|的最大值為2$\sqrt{2}$+r．
（2）圓C的方程為：x²+（y-a）²=a²，直線l的方程為：4x+3y-4a=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式與弦長公式即可得出．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}t+a}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$，a=2時，化為普通方程：$y=-\frac{4}{3}$（x-2）．令y=0，解得x=2，可得M（2，0）．圓C的極坐標(biāo)是ρ=2asinθ，即ρ²=4ρsinθ，可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²-4y=0，即x²+（y-2）²=4．
|MC|=2$\sqrt{2}$，∴|MN|的最大值為2$\sqrt{2}$+2．
（2）圓C的方程為：x²+（y-a）²=a²，直線l的方程為：4x+3y-4a=0，
圓心C到直線l的距離d=$\frac{|3a-4a|}{5}$=$\frac{|a|}{5}$．
∴$2\sqrt{{a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{25}}$=2$\sqrt{6}$，解得a=$±\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．