Question

17．橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是它的左、右焦點(diǎn)，已知橢圓C過(guò)點(diǎn)（0，1），且離心率e=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，直線l的方程為x=4，P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別交直線l于D、E兩點(diǎn)，求證$\overrightarrow{{F}_{1}D}$•$\overrightarrow{{F}_{2}E}$為一定值，并求出這一定值；
（3）是否存在過(guò)點(diǎn)Q（1，0）的直線m（與x軸不垂直）與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，使 $\overrightarrow{M{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{N{F}_{1}}$，若存在，求出l的斜率，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知求出b，結(jié)合橢圓離心率及隱含條件列式求得a，則橢圓C的方程可求；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），推出直線PA、PB的方程，求得D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出向量，利用點(diǎn)P（x₀，y₀）在橢圓C上，即可求$\overrightarrow{{F}_{1}D}•\overrightarrow{{F}_{2}E}$的值；
（3）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），m：x=ty+1，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出M，N的縱坐標(biāo)的和與積，代入 $\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{N{F}_{1}}$，求出 $\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{N{F}_{1}}$≠0，說(shuō)明不存在過(guò)點(diǎn)Q（1，0）的直線m（與x軸不垂直）與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，使 $\overrightarrow{M{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{N{F}_{1}}$．

解答 解：（1）由題意可知，b=1，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}}\end{array}\right.$，解得a²=9，c²=8，b²=1．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則直線PA、PB的方程分別為y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$（x+3），y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$（x-3），
將x=4分別代入可求得D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為D（4，$\frac{7{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$），E（4，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$）．
由（1），F(xiàn)₁（-2$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（2$\sqrt{2}$，0），
∴$\overrightarrow{{F}_{1}D}$•$\overrightarrow{{F}_{2}E}$=（4+2$\sqrt{2}$，$\frac{7{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$）•（4-2$\sqrt{2}$，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$）=8+$\frac{7{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-9}$，
又∵點(diǎn)P（x₀，y₀）在橢圓C上，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{9}+{{y}_{0}}^{2}=1$，得$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-9}=-\frac{1}{9}$，
∴$\overrightarrow{{F}_{1}D}$•$\overrightarrow{{F}_{2}E}$=$\frac{65}{9}$；
（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)Q（1，0）的直線m（與x軸不垂直）與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，設(shè)m：x=ty+1，
再設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F(xiàn)₁（$-2\sqrt{2}$，0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{{x}^{2}+9{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，得（t²+9）y²+2ty-8=0．
△=4t²+32（t²+9）＞0，
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2t}{{t}^{2}+9}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-8}{{t}^{2}+9}$，
x₁+x₂=t（y₁+y₂）+2，
∴${x}_{1}{x}_{2}=（t{y}_{1}+1）（t{y}_{2}+1）={t}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+t（{y}_{1}+{y}_{2}）+1$=$\frac{-8{t}^{2}}{{t}^{2}+9}-\frac{2{t}^{2}}{{t}^{2}+9}+1=\frac{-9{t}^{2}+9}{{t}^{2}+9}$，
$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{N{F}_{1}}=（-2\sqrt{2}-{x}_{1}，-{y}_{1}）•（-2\sqrt{2}-{x}_{2}，-{y}_{2}）$
=$（2\sqrt{2}+{x}_{1}）（2\sqrt{2}+{x}_{2}）+{y}_{1}{y}_{2}$=$8+2\sqrt{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$
=$8+2\sqrt{2}t（{y}_{1}+{y}_{2}）+4\sqrt{2}$+x₁x₂+y₁y₂=$8+2\sqrt{2}t•\frac{-2t}{{t}^{2}+9}+4\sqrt{2}+\frac{-9{t}^{2}+9}{{t}^{2}+9}+\frac{-8}{{t}^{2}+9}$
=$\frac{8{t}^{2}+72-4\sqrt{2}{t}^{2}+4\sqrt{2}{t}^{2}+36\sqrt{2}-9{t}^{2}+9-8}{{t}^{2}+9}$=$\frac{-{t}^{2}+73+36\sqrt{2}}{{t}^{2}+9}$≠0．
∴不存在過(guò)點(diǎn)Q（1，0）的直線m（與x軸不垂直）與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，使 $\overrightarrow{M{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{N{F}_{1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的相關(guān)知識(shí)，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生運(yùn)算能力、分析問(wèn)題的能力，屬難題．