分析 (1)設(shè)出M,P的坐標(biāo),由向量等式把P的坐標(biāo)用M的坐標(biāo)表示,代入橢圓方程整理可得點(diǎn)M的軌跡E的方程;
(2)寫出直線AB的截距式方程,再設(shè)出與直線AB平行的直線l的方程為x-y+m=0,與橢圓方程聯(lián)立,利用判別式等于0求得m值,結(jié)合三角形面積公式得答案.
解答 解:(1)設(shè)M(x,y),P(x0,y0),
由$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OP}$,得$({x,y})=\frac{1}{3}({{x_0},{y_0}})⇒\left\{\begin{array}{l}{x_0}=3x\\{y_0}=3y\end{array}\right.$,
∵P(x0,y0)在橢圓上,
∴$\frac{{{x_0}^2}}{36}+\frac{{{y_0}^2}}{9}=1$,即$\frac{9{x}^{2}}{36}+\frac{9{y}^{2}}{9}=1$,則$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$,
∴點(diǎn)M的軌跡E的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$;
(2)由題意可得直線AB的方程為x-y+4=0,
設(shè)與直線AB平行的直線l的方程為x-y+m=0,
由$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+m=0}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$,得5x2+8mx+4m2-4=0.
令△=0,得64m2-4×5×(4m2-4)=0,解得$m=±\frac{5}{4}$,
∵△ABC的面積$S=\frac{1}{2}\sqrt{{4^2}+{4^2}}\frac{{|{m-4}|}}{{\sqrt{2}}}=2|{m-4}|$,
∴當(dāng)$m=-\frac{5}{4}$時(shí),△ABC的面積有最大值為$\frac{21}{2}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,是中檔題.
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A. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | B. | $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$ | C. | $\frac{3}{2}$ | D. | $\sqrt{2}$ |
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