6.(理)已知點(diǎn)P(-4,4),曲線C:$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$(θ為參數(shù)),若Q是曲線C上的動(dòng)點(diǎn),則線段PQ的中點(diǎn)M到直線l:$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$(t為參數(shù))距離的最小值為$\frac{8\sqrt{5}}{5}$..

分析 設(shè)Q(8cosθ,3sinθ)(0≤φ<2π),則M(-2+4cosθ,2+$\frac{3}{2}$sinθ),直線l:$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$(t為參數(shù))的普通方程為x-2y-7=0,利用點(diǎn)到直線的距離公式可得:點(diǎn)M到直線l的距離,利用三角函數(shù)的單調(diào)性與極值即可得出.

解答 解:設(shè)Q(8cosθ,3sinθ)(0≤φ<2π),則M(-2+4cosθ,2+$\frac{3}{2}$sinθ),
直線l:$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$(t為參數(shù))的普通方程為x-2y-7=0,
則點(diǎn)M到直線l的距離為d=$\frac{|-2+4cosθ-4-3sinθ-7|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin(θ-α)+13|}{\sqrt{5}}$
∴點(diǎn)M到直線l的距離最小值為$\frac{8\sqrt{5}}{5}$.
故答案為$\frac{8\sqrt{5}}{5}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

16.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)A在橢圓上,AF2⊥x軸,若$\frac{{|A{F_1}|}}{{|A{F_2}|}}=\frac{5}{3}$,則橢圓的離心率等于(  )
A.2B.$\frac{1}{5}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是它的左、右焦點(diǎn),已知橢圓C過點(diǎn)(0,1),且離心率e=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,直線l的方程為x=4,P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn),直線PA、PB分別交直線l于D、E兩點(diǎn),求證$\overrightarrow{{F}_{1}D}$•$\overrightarrow{{F}_{2}E}$為一定值,并求出這一定值;
(3)是否存在過點(diǎn)Q(1,0)的直線m(與x軸不垂直)與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),使 $\overrightarrow{M{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{N{F}_{1}}$,若存在,求出l的斜率,若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

14.已知函數(shù)f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1在x=1處有極值m,n∈R
(Ⅰ)求m與n的關(guān)系式;
(Ⅱ)當(dāng)m=-2時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極小值點(diǎn).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

1.f(x)=kx-lnx在區(qū)間(1,+∞)上是減函數(shù),k的取值范圍是(  )
A.(-∞,0)B.(-∞,0]C.(-∞,1)D.(-∞,1]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

11.傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù).他們研究過如圖所示的三角形數(shù),根據(jù)合情推理試猜測(cè)第七個(gè)三角形有(  )個(gè)石子
A.28B.21C.36D.32

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(2,$\frac{π}{3}$)到直線l:ρsin(θ+$\frac{π}{4}$)=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的距離為( 。
A.$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$B.$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$C.$\frac{3}{2}$D.$\sqrt{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

15.下列說法中正確的是.( 。
①獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想是帶有概率性質(zhì)的反證法;
②獨(dú)立性檢驗(yàn)就是選取一個(gè)假設(shè)Ho條件下的小概率事件,若在一次試驗(yàn)中該事件發(fā)生了,這是與實(shí)際推斷相抵觸的“不合理”現(xiàn)象,則作出拒絕Ho的推斷;
③獨(dú)立性檢驗(yàn)一定能給出明確的結(jié)論.
A.①②B.①③C.②③D.①②③

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

16.已知橢圓C:$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1,過點(diǎn)D(0,4)的直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M,N(M在D,N之間),有以下四個(gè)結(jié)論:
①若$\overrightarrow{DN}=λ\overrightarrow{DM}$,則λ的取值范圍是1<λ≤$\frac{5}{3}$;
②若A是橢圓C的右頂點(diǎn),且∠MAN的角平分線是x軸,則直線l的斜率為-2;
③若以MN為直徑的圓過原點(diǎn)O,則直線l的斜率為±2$\sqrt{5}$;
④若$\left\{{\begin{array}{l}{{x^'}=x}\\{{y^'}=2y}\end{array}}$,橢圓C變成曲線E,點(diǎn)M,N變成M′,N′,曲線E與y軸交于點(diǎn)P,Q,則直線PN′與QM′的交點(diǎn)必在一條定直線上.
其中正確的序號(hào)是①④.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案