7.已知函數(shù)f(x)=x2-2lnx.
(1)求證:f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)若f(x)≥2tx-$\frac{1}{{x}^{2}}$在x∈(0,1]內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

分析 (1)先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出,
(2)要求若f(x)≥2tx-$\frac{1}{{x}^{2}}$在x∈(0,1]內(nèi)恒成立,即轉(zhuǎn)化為2t≤x+$\frac{1}{{x}^{3}}$-$\frac{2lnx}{x}$在x∈(0,1]內(nèi)恒成立,只需求h(x)=x+$\frac{1}{{x}^{3}}$-$\frac{2lnx}{x}$x∈(0,1]內(nèi)的最小值即可.

解答 解:(1)證明:函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞),f′(x)=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2(x+1)(x-1)}{x}$,
由f′(x)>0,得x>1,由f′(x)<0,得0<x<1,
所以,函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)由f(x)≥2tx-$\frac{1}{{x}^{2}}$對(duì)x∈(0,1]恒成立,得2t≤x+$\frac{1}{{x}^{3}}$-$\frac{2lnx}{x}$.
令h(x)=x+$\frac{1}{{x}^{3}}$-$\frac{2lnx}{x}$,則h′(x)=$\frac{{x}^{4}-2{x}^{2}-3+2{x}^{2}lnx}{{x}^{4}}$,
因?yàn)閤∈(0,1],所以x4-3<0,-2x2<0,
2x2lnx<0,x4>0,
所以h′(x)<0,
所以h(x)在(0,1)上為減函數(shù).
所以當(dāng)x=1時(shí),h(x)=h(x)=x+$\frac{1}{{x}^{3}}$-$\frac{2lnx}{x}$,有最小值2,得2t≤2,
所以t≤1,故t的取值范圍是(-∞,1].

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,以求函數(shù)恒成立問(wèn)題,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

17.橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是它的左、右焦點(diǎn),已知橢圓C過(guò)點(diǎn)(0,1),且離心率e=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,直線l的方程為x=4,P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn),直線PA、PB分別交直線l于D、E兩點(diǎn),求證$\overrightarrow{{F}_{1}D}$•$\overrightarrow{{F}_{2}E}$為一定值,并求出這一定值;
(3)是否存在過(guò)點(diǎn)Q(1,0)的直線m(與x軸不垂直)與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),使 $\overrightarrow{M{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{N{F}_{1}}$,若存在,求出l的斜率,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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18.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(2,$\frac{π}{3}$)到直線l:ρsin(θ+$\frac{π}{4}$)=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的距離為( 。
A.$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$B.$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$C.$\frac{3}{2}$D.$\sqrt{2}$

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15.下列說(shuō)法中正確的是.(  )
①獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想是帶有概率性質(zhì)的反證法;
②獨(dú)立性檢驗(yàn)就是選取一個(gè)假設(shè)Ho條件下的小概率事件,若在一次試驗(yàn)中該事件發(fā)生了,這是與實(shí)際推斷相抵觸的“不合理”現(xiàn)象,則作出拒絕Ho的推斷;
③獨(dú)立性檢驗(yàn)一定能給出明確的結(jié)論.
A.①②B.①③C.②③D.①②③

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2.若拋物線C:x=2py2(p>0)過(guò)點(diǎn)(2,5),則準(zhǔn)線的方程為x=-$\frac{25}{8}$.

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12.已知向量$\overrightarrow a$=(sinθ,-1)與$\overrightarrow b$=(2,cosθ)互相垂直,其中θ∈(0,π).
(1)求sinθ和cosθ的值;
(2)求$cos(θ+\frac{π}{4})$值.

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19.若f(x)=x2+2(a-1)x+4是區(qū)間(-∞,4]上的減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤-3.

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16.已知橢圓C:$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1,過(guò)點(diǎn)D(0,4)的直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M,N(M在D,N之間),有以下四個(gè)結(jié)論:
①若$\overrightarrow{DN}=λ\overrightarrow{DM}$,則λ的取值范圍是1<λ≤$\frac{5}{3}$;
②若A是橢圓C的右頂點(diǎn),且∠MAN的角平分線是x軸,則直線l的斜率為-2;
③若以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O,則直線l的斜率為±2$\sqrt{5}$;
④若$\left\{{\begin{array}{l}{{x^'}=x}\\{{y^'}=2y}\end{array}}$,橢圓C變成曲線E,點(diǎn)M,N變成M′,N′,曲線E與y軸交于點(diǎn)P,Q,則直線PN′與QM′的交點(diǎn)必在一條定直線上.
其中正確的序號(hào)是①④.

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17.若函數(shù)f(x)是定義在R上奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=log3x-3x,則f(x)的解析式為f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}x-{3}^{x},}&{x>0}\\{0}&{x=0}\\{(\frac{1}{3})^{x}-lo{g}_{3}(-x),}&{x<0}\end{array}\right.$.

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