分析 (Ⅰ)由動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到F(0,1)的距離比到直線y=-2的距離小1,可得動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到F(0,1)的距離等于它到直線y=-1的距離,利用拋物線的定義,即可求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W的方程;
(Ⅱ)①由題意知,直線l方程為y=kx+1,代入拋物線得x2-4kx-4=0,利用條件,結(jié)合韋達(dá)定理,可得t+$\frac{1}{t}$=4k2+2,利用函數(shù)的單調(diào)性,即可求k的取值范圍;
②求出直線AN,BN的方程,表示出面積,即可得出結(jié)論.
解答 解:(1)由題意,動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到F(0,1)的距離比到直線y=-2的距離小1,
∴動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到F(0,1)的距離等于它到直線y=-1的距離,
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F(0,1)為焦點(diǎn)的拋物線,其方程為x2=4y;
(2)①由題意知,直線l方程為y=kx+1,代入拋物線得x2-4kx-4=0,
設(shè)(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4k,x1x2=-4,
∵$\overrightarrow{BF}$=t$\overrightarrow{FA}$,∴t=-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$,
∴$\frac{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-t-$\frac{1}{t}$+2=-4k2,
∴t+$\frac{1}{t}$=4k2+2
∵f(t)=t+$\frac{1}{t}$在[1,2]上單調(diào)遞增,∴2≤t+$\frac{1}{t}$$≤\frac{5}{2}$,
∴$-\frac{\sqrt{2}}{4}≤k≤\frac{\sqrt{2}}{4}$;
②y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$,y′=$\frac{1}{2}x$,
∴直線AN:y-$\frac{1}{4}$x12=$\frac{1}{2}$x1(x-x1),BN:y-$\frac{1}{4}$x22=$\frac{1}{2}$x1(x-x2),
兩式相減整理可得x=$\frac{1}{2}$(x1+x2)=2k,
∴N(2k,-1),N到直線AB的距離d=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$,
∵|AC|=|AF|-1=y1,|BD|=|BF|-1=y2,
∴|AC||BD|=1
∴△ACN與△BDN面積之積=$\frac{1}{2}|AC|d•\frac{1}{2}|BD|d$=$\frac{1}{4}gel9l04^{2}$=1+k2,
當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí),△ACN與△BDN面積之積的最小值為0.
點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義與方程,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,考查三角形面積的計(jì)算,屬于中檔題.
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A. | $\frac{5}{9}$ | B. | $\frac{6}{11}$ | C. | $\frac{8}{15}$ | D. | $\frac{7}{16}$ |
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A. | a≥1 | B. | a≥1或a≤$\frac{2}{π}$ | C. | a>1或a≤0 | D. | a$<\frac{2}{π}$ |
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