3.設(shè)函數(shù)f(x)=$\frac{b\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{a}$(a>b>0)的圖象是曲線C.
(1)在如圖的坐標(biāo)系中分別做出曲線C的示意圖,并分別標(biāo)出曲線C與x軸的左、右交點A1,A2
(2)設(shè)P是曲線C上位于第一象限的任意一點,過A2作A2R⊥A1P于R,設(shè)A2R與曲線C交于Q,求直線PQ斜率的取值范圍.

分析 (1)化簡函數(shù)的解析式為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1,a>b>0,且y≥0,其圖象表示焦點在x軸上橢圓的一部分,數(shù)形結(jié)合求得,A1 和A2的坐標(biāo).
(2)先考察一般性,直線A1P的方程是y=k(x+a),與橢圓方程聯(lián)立,求得P,Q的坐標(biāo),可得直線PQ斜率,即可求出取值范圍.

解答 解:(1)∵f(x)=$\frac{b\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{a}$(a>b>0),
∴y=$\frac{b\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{a}$,
∴a2y2=b2(a2-x2),∴b2x2+a2y2=b2a2
∴$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1,a>b>0,且y≥0,
其圖象表示焦點在x軸上橢圓的一部分,
如圖所示,A1 (-a,0)、A2(a,0).
(2)曲線C的方程是$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0,y≥0),
設(shè) 直線A1P的斜率是k,
因為P是曲線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點,所以k∈(0,$\frac{a}$).
設(shè)P,Q的坐標(biāo)分別是(x1,y1),(x2,y2),則直線A1P的方程是y=k(x+a),
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{y=k(x+a)}\end{array}\right.$消去y得,(a2k2+b2)x2+2a3k2x+a2(a2k2-b2)=0,
解得x1=$\frac{a(^{2}-{a}^{2}{k}^{2})}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$,y1=$\frac{2a^{2}k}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$.
將上式中的a換成-a,k換成-$\frac{1}{k}$得x2=$\frac{a({a}^{2}-^{2}{k}^{2})}{{a}^{2}+^{2}{k}^{2}}$,y2=$\frac{2a^{2}k}{{a}^{2}+^{2}{k}^{2}}$,
∴KPQ=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{1}{3}$(k-$\frac{1}{k}$),由于y=$\frac{1}{3}$(k-$\frac{1}{k}$)在∈(0,$\frac{a}$)上單調(diào)遞增,
∴KPQ=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{1}{3}$(k-$\frac{1}{k}$)<$\frac{1}{3}$($\frac{a}$-$\frac{a}$)=$\frac{^{2}{-a}^{2}}{ab}$,
故直線PQ斜率的取值范圍為(-∞,$\frac{^{2}{-a}^{2}}{ab}$).

點評 本題考查橢圓方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查斜率的計算,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于難題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.sin18°•sin78°-cos162°•cos78°=$\frac{1}{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.設(shè)a=ln2,b=log23,c=log3$\frac{1}{2}$,則a,b,c的大小關(guān)系是( 。
A.a>c>bB.b>c>aC.b>a>cD.c>b>a

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠DAB=90°,PA=AB=BC=3,AD=1.
( I)設(shè)點E在線段PC上,若$\frac{PE}{EC}=\frac{1}{2}$,求證:DE∥平面PAB;
( II)求證:平面PBC⊥平面PAB.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

9.在△ABC中,|BC|是|AB|、|AC|的等差中項,且B(-1,0),C(1,0).
(1)求頂點A的軌跡G的方程;
(2)若G上存在兩點關(guān)于直線l:y=2x+m對稱,求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

8.橢圓$\frac{x^2}{{{m^2}+12}}+\frac{y^2}{{{m^2}-4}}$=1的焦距是( 。
A.4B.2$\sqrt{2}$C.8D.與m有關(guān)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

15.已知函數(shù)f(x)=$\frac{lnx}{x}$,若方程f(x)=m存在兩個不同的實數(shù)解,則實數(shù)m的取值范圍為(  )
A.(0,$\frac{1}{e}$)B.(0,e)C.(-∞,$\frac{1}{e}$)D.(0,$\frac{1}{e}$]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.已知函數(shù)f(x)=mlnx+(4-2m)x+$\frac{1}{x}$(m∈R).
(1)當(dāng)m>2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)t,s∈[1,3],不等式|f(t)-f(s)|<(a+ln3)(2-m)-2ln3對任意的m∈(4,6)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.對于二次函數(shù)y=-$\frac{1}{4}$x2+x-4,下列說法正確的是( 。
A.當(dāng)x>0時,y隨x的增大而增大B.當(dāng)x=2時,y有最大值-3
C.圖象的頂點坐標(biāo)為(-2,-7)D.圖象與x軸有兩個交點

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案