Question

18．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{1}{2}$．設過點F₂的直線l被橢圓C截得的線段為RS，當l⊥x軸時，|RS|=3
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）已知點T（4，0），證明：當直線l變化時，直線TS與TR的斜率之和為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：a=2c，$\frac{2^{2}}{a}$=3，且a²=b²+c²，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）分類討論，當直線l不垂直與x軸時，設直線方程，代入橢圓方程，由韋達定理及直線的斜率公式，即可求得k_TR+k_TS=0，即可證明直線TS與TR的斜率之和為定值．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，將x=c代入橢圓方程，
解得：y=±$\frac{^{2}}{a}$，|RS|=$\frac{2^{2}}{a}$=3，
由a²=b²+c²，則a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）證明：當直線l垂直與x軸時，顯然直線TS與TR的斜率之和為0，
當直線l不垂直與x軸時，設直線l的方程為y=k（x-1），R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²x+4k²-12=0，
△=64k⁴-4（3+4k²）（4k²-12）=k²+1＞0恒成立，
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
由k_TR+k_TS=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-4}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$，TR，TS的斜率存在，
由R，S兩點的直線y=k（x-1），
故y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
則$\frac{k（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-4）+k（{x}_{2}-1）（{x}_{1}-4）}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$=$\frac{k[2{x}_{1}{x}_{2}-5（{x}_{1}+{x}_{2}）+8]}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$，
由2x₁x₂-5（x₁+x₂）+8=2×$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-5×$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+8=0，
∴k_TR+k_TS=0，
∴直線TS與TR的斜率之和為0，
綜上所述，直線TS與TR的斜率之和為為定值，定值為0．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．