Question

7．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，若tanA+tanC=$\sqrt{3}$（tanAtanC-1）
（Ⅰ）求角B
（Ⅱ）如果b=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)兩角和的正切公式，利用三角形內(nèi)角和定理，即可求出B的值；
（Ⅱ）由余弦定理和基本不等式，即可求出△ABC面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，tanA+tanC=$\sqrt{3}$（tanAtanC-1），
∴$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}$=-$\sqrt{3}$，
即tan（A+C）=-$\sqrt{3}$；
又A+B+C=π，
∴tanB=$\sqrt{3}$；
由B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）△ABC中，由余弦定理得：
cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴a²+c²=ac+4；
又a²+c²≥2ac，
∴ac≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)取“=”，
∴△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
即△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角恒等變換以及三角形內(nèi)角和定理、余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．