Question

19．給出下列等式：
$\sqrt{2}$=2cos$\frac{π}{4}$，
$\sqrt{2+\sqrt{2}}$=2cos$\frac{π}{8}$，
$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$=2cos$\frac{π}{16}$
…
請從中歸納出第n（n∈N*）個等式：$\sqrt{2+…+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$=2cos$\frac{π}{{2}^{n+1}}$．

Answer 1

分析 通過已知的三個等式，找出規(guī)律，歸納出第n個等式即可．

解答 解：因為$\sqrt{2}$=2cos$\frac{π}{4}$，
$\sqrt{2+\sqrt{2}}$=2cos$\frac{π}{8}$，
$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$=2cos$\frac{π}{16}$
…，
等式的右邊系數(shù)是2，角是等比數(shù)列，公比為$\frac{1}{2}$角的余弦值，角滿足：$\frac{π}{{2}^{n+1}}$，
所以$\sqrt{2+…+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$=2cos$\frac{π}{{2}^{n+1}}$．
故答案為：2cos$\frac{π}{{2}^{n+1}}$．

點評 本題考查歸納推理，注意已知表達式的特征是解題的關鍵．