2.學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項目:甲箱子里裝有3個白球、2個黑球.乙箱子里裝有1個白球、2個黑球.每次游戲從這兩個箱子里隨機摸出2個球,若摸出的白球不少于2個,則獲獎.(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)
(1)求在1次游戲結(jié)束后,?①摸出3個白球的概率??②獲獎的概率?
(2)求在2次游戲中獲獎次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

分析 (1)設(shè)“摸出3個白球”為事件A,則必須從甲箱子里摸出2個白球,從乙箱子里摸出1個白球與1個黑球.可得P(A)=$\frac{{∁}_{3}^{2}•{∁}_{1}^{1}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{5}^{2}•{∁}_{3}^{2}}$.
②設(shè)“獲獎”為事件B,B包括兩種情況:一種是從甲箱子里摸出1個白球與一個黑球,從乙箱子里摸出1個白球與1個黑球;另一種是從甲箱子里摸出2個白球,從乙箱子里3個球中摸出2個球.可得P(B).
(2)由(1)②可知:在1次游戲中,“獲獎”的概率P=$\frac{7}{10}$,因此X~B$(2,\frac{7}{10})$.利用P(X=k)=${∁}_{2}^{k}(\frac{3}{10})^{2-k}•(\frac{7}{10})^{k}$,(k=0,1,2),即可得出分布列與數(shù)學(xué)期望.

解答 解:(1)設(shè)“摸出3個白球”為事件A,則必須從甲箱子里摸出2個白球,從乙箱子里摸出1個白球與1個黑球.
∴P(A)=$\frac{{∁}_{3}^{2}•{∁}_{1}^{1}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{5}^{2}•{∁}_{3}^{2}}$=$\frac{1}{5}$.
②設(shè)“獲獎”為事件B,B包括兩種情況:一種是從甲箱子里摸出1個白球與一個黑球,從乙箱子里摸出1個白球與1個黑球;另一種是從甲箱子里摸出2個白球,從乙箱子里3個球中摸出2個球.
則P(B)=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{2}^{1}•{∁}_{1}^{1}{∁}_{2}^{1}+{∁}_{3}^{2}•{∁}_{3}^{2}}{{∁}_{5}^{2}•{∁}_{3}^{2}}$=$\frac{7}{10}$.
(2)由(1)②可知:在1次游戲中,“獲獎”的概率P=$\frac{7}{10}$,因此X~B$(2,\frac{7}{10})$.P(X=k)=${∁}_{2}^{k}(\frac{3}{10})^{2-k}•(\frac{7}{10})^{k}$,(k=0,1,2).

 X 0 1 2
 P $\frac{9}{100}$ $\frac{42}{100}$ $\frac{49}{100}$
∴E(X)=$2×\frac{7}{10}$=75.

點評 本題考查了古典概率與相互獨立及互斥事件的概率計算公式、二項分布列的計算公式與數(shù)學(xué)期望,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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