Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=nkⁿ（n∈N^*，0＜k＜1），下面命題：
①當k=$\frac{1}{2}$時，數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列；
②當$\frac{1}{2}$＜k＜1時，數(shù)列{a_n}不一定有最大項；
③當0＜k＜$\frac{1}{2}$時，數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列；
④當$\frac{k}{1-k}$為正整數(shù)時，數(shù)列{a_n}必有兩項相等的最大項．
其中正確命題的序號是③④．

Answer 1

分析 ①當$k=\frac{1}{2}$時，作差a_n-a_n+1═$\frac{n-1}{2}$$（\frac{1}{2}）^{n}$≥0，n=1時取等號，a₁=a₂，即可判斷出單調性．
②當$\frac{1}{2}＜k＜1$時，作商$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$，由于$\frac{1}{2}＜k$＜$\frac{（n+1）k}{n}$＜1+$\frac{1}{n}$＜2k，即可判斷出結論．
③當$0＜k＜\frac{1}{2}$時，作商，即可得出數(shù)列{a_n}的單調性．
④當$\frac{k}{1-k}$為正整數(shù)時，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$=1，當k=$\frac{n}{n+1}$時，因此數(shù)列{a_n}必有兩項相等的最大項．

解答 解：①當$k=\frac{1}{2}$時，a_n=n$•（\frac{1}{2}）^{n}$，則a_n-a_n+1═n$•（\frac{1}{2}）^{n}$-（n+1）$•（\frac{1}{2}）^{n+1}$=$\frac{n-1}{2}$$（\frac{1}{2}）^{n}$≥0，n=1時取等號，因此數(shù)列{a_n}不是遞減數(shù)列，不正確；
②當$\frac{1}{2}＜k＜1$時，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$，∵$\frac{1}{2}＜k$＜$\frac{（n+1）k}{n}$＜1+$\frac{1}{n}$＜2k，∴因此數(shù)列{a_n}一定有最大項，不正確；
③當$0＜k＜\frac{1}{2}$時，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$$＜\frac{n+1}{2n}$≤1，∴a_n＞a_n+1，因此數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，正確；
④當$\frac{k}{1-k}$為正整數(shù)時，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$=1，當k=$\frac{n}{n+1}$時，∴數(shù)列{a_n}必有兩項相等的最大項，正確．
綜上可得：只有③④正確．
故答案為：③④．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關系、單調性，考查了作差與作商方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．