【題目】已知函數(shù)

是函數(shù)的極值點,1是函數(shù)的一個零點,求的值;

時,討論函數(shù)的單調(diào)性;

若對任意,都存在,使得成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1);(2)詳見解析;(3).

【解析】

(1)先求導(dǎo)得到,,,得到的值,繼而求出的值;

(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;

(3)問題轉(zhuǎn)化為有解即可,亦即只需存在使得即可,連續(xù)利用導(dǎo)函數(shù),然后分別對,看是否存在使得,進而得到結(jié)論.

(1)

是函數(shù)的極值點,

∵1是函數(shù)的零點,得,

,

解得,,

(2)時,,

,

時,遞增,

時,令,解得:,

,解得:,

遞減,在遞增;

(3)令,,則為關(guān)于的一次函數(shù)且為增函數(shù),

根據(jù)題意,對任意,都存在 為自然對數(shù)的底數(shù)),使得成立,

則在,有解,

,只需存在使得即可,

由于

,,

上單調(diào)遞增,

①當,即時,,即上單調(diào)遞增,∴,不符合題意.

②當,即時,,

,則,所以在恒成立,即恒成立,∴上單調(diào)遞減,

∴存在使得,符合題意.

,則,∴在上一定存在實數(shù),使得,

∴在恒成立,即恒成立,∴上單調(diào)遞減,

∴存在使得,符合題意.綜上所述,當時,對任意,都存在為自然對數(shù)的底數(shù)),使得成立.

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