分析 (1)設(shè)D(t,0)(0≤t≤1),根據(jù)向量的數(shù)量積的運算化簡得到|$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$|2=(t-$\frac{\sqrt{2}}{2}$)2+$\frac{1}{2}$,(0≤t≤1),利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最小值.
(2)根據(jù)向量的數(shù)量積的運算化簡得到$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-$\sqrt{2}$sin(2x+$\frac{π}{4}$)+1,再利用正弦函數(shù)的定義域和值域 求出它的最值
解答 解:(1)設(shè)D(t,0)(0≤t≤1),又點C(-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$).
∴$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$=(-$\frac{\sqrt{2}}{2}$+t,$\frac{\sqrt{2}}{2}$),
∴|$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$|2=t2-$\sqrt{2}$t+1=(t-$\frac{\sqrt{2}}{2}$)2+$\frac{1}{2}$,(0≤t≤1),
∴當t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時,|$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$|取得最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$;
(2)由題意得:點由題意得C(cosx,sinx),
$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{BC}$=(cosx+1,sinx),$\overrightarrow{n}$=(1-cosx,sinx-2cosx),
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=(cosx+1)(1-cosx)+sinx(sinx-2cosx)
=1-cos2x+sin2x-2sinxcosx=1-cos2x-sin2x=-$\sqrt{2}$sin(2x+$\frac{π}{4}$)+1
∵x∈[0,$\frac{π}{2}$],
∴$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$,
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin(2x+$\frac{π}{4}$)≤1,
∴1-$\sqrt{2}$≤-$\sqrt{2}$sin(2x+$\frac{π}{4}$)+1≤2,
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$的取值范圍為[1-$\sqrt{2}$,2]
點評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,兩個向量的數(shù)量積的公式,正弦函數(shù)的定義域和值域,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{8}$ | B. | $\frac{2}{13}$ | C. | $\frac{11}{3}$ | D. | $\frac{1}{14}$ |
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