Question

15．已知動點M到點N（1，0）和直線l：x=-1的距離相等．
（Ⅰ）求動點M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）已知不與l垂直的直線l'與曲線E有唯一公共點A，且與直線l的交點為P，以AP為直徑作圓C．判斷點N和圓C的位置關系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用拋物線的定義，即可求動點M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）由題意可設直線l'：x=my+n，由$\left\{{\begin{array}{l}{x=my+n}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$可得y²-4my-4n=0，求出A，P的坐標，利用向量的數(shù)量積，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設動點M（x，y），
由拋物線定義可知點M的軌跡E是以N（1，0）為焦點，直線l：x=-1為準線的拋物線，
所以軌跡E的方程為y²=4x．
（Ⅱ）點N在以PA為直徑的圓C上．
理由：由題意可設直線l'：x=my+n，
由$\left\{{\begin{array}{l}{x=my+n}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$可得y²-4my-4n=0（*），
因為直線l'與曲線E有唯一公共點A，
所以△=16m²+16n=0，即n=-m²．
所以（*）可化簡為y²-4my+4m²=0，
所以A（m²，2m），
令x=-1得$P（-1，-\frac{1+n}{m}）$，
因為n=-m²，
所以$\overrightarrow{NA}•\overrightarrow{NP}=（{m^2}-1，2m）•（-2，-\frac{1+n}{m}）=-2{m^2}+2-2-2n=0$
所以NA⊥NP，
所以點N在以PA為直徑的圓C上．

點評 本題考查拋物線的定義與方程，考查直線與拋物線位置關系的運用，考查向量知識，屬于中檔題．