【題目】試求所有由互異正奇數(shù)構成的三元集{a,b,c},使其滿足:.
【答案】7個,,,.
【解析】
據(jù)對稱性,不妨設a<b<c,由于奇平方數(shù)的末位數(shù)字只具有1、5、9形式,于是的末位數(shù)字,要么是5、5、9的形式,要么是1、9、9的形式.
又知,如果正整數(shù)n是3的倍數(shù),那么n2必是9的倍數(shù);如果n不是3的倍數(shù),那么n2被3除余1.
由于2019是3的倍數(shù),但不是9的倍數(shù),因此奇數(shù)a、b、c皆不是3的倍數(shù).
注意,即奇數(shù)c≤43,而,
即c2>673,且c不是3的倍數(shù),故奇數(shù)c≥29.
因此奇數(shù).
注意如下事實:如果奇數(shù)為兩個正整數(shù)的平方和,那么偶數(shù)2N必可表為兩個互異正奇數(shù)的平方和.
這是由于,
若c=43,方程化為:.
因此,.
于是得兩解:.
若c=41,方程化為.
由此得:{a,b,c}={7,17,41}.
若c=37,方程化為
,
因此,,
得到三個解:.
若c=35,方程化為:.
而397是一個4N+1型的質(zhì)數(shù),它可唯一地表為兩整數(shù)的平方和:,
所以,
得到一個解:{a,b,c}={13,25,35}
若c=31,方程化為:,而23是4N-1型的質(zhì)數(shù),它不能表為兩個正整數(shù)的平方和.
若c=29,方程化為:,它含有4N-1型的單質(zhì)因子,故不能表為兩整數(shù)的平方和.
綜合以上討論,本題共有七個滿足條件的互異正奇數(shù)解{a,b,c},即為:
,,.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程是.
(1)寫出的極坐標方程和的直角坐標方程;
(2)已知點、的極坐標分別為和,直線與曲線相交于,兩點,射線與曲線相交于點,射線與曲線相交于點,求的值.
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【題目】如圖,四棱錐PABC中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點.
(Ⅰ)證明MN∥平面PAB;
(Ⅱ)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.
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【題目】已知函數(shù),、、,且都有,滿足的實數(shù)有且只有個,給出下述四個結論:
①滿足題目條件的實數(shù)有且只有個;②滿足題目條件的實數(shù)有且只有個;
③在上單調(diào)遞增;④的取值范圍是.
其中所有正確結論的編號是( )
A.①④B.②③C.①②③D.①③④
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【題目】有如下命題:①函數(shù)y=sinx與y=x的圖象恰有三個交點;②函數(shù)y=sinx與y=的圖象恰有一個交點;③函數(shù)y=sinx與y=x2的圖象恰有兩個交點;④函數(shù)y=sinx與y=x3的圖象恰有三個交點,其中真命題的個數(shù)為( 。
A.1B.2C.3D.4
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【題目】三國時代吳國數(shù)學家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明,下面是趙爽的弦圖及注文,弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實,圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形,分別涂成紅(朱)色及黃色其面積稱為朱實,黃實,利朱用2×勾×股+(股-勾)2=4×朱實+黃實=弦實,化簡得勾2+股2=弦2,設勾股中勾股比為,若向弦圖內(nèi)隨機拋擲1000顆圖釘(大小忽略不計),則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為( )
A.886B.500C.300D.134
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【題目】“生命重于泰山,疫情就是命令,防控就是責任”.面對疫情,為切實做好防控,落實“停課不停學”,某校高三年級啟動線上公益學習活動,助“戰(zhàn)”高考.為了解學生的學習效果,李華老師在任教的甲、乙兩個班中各隨機抽取20名學生進行一次檢測,根據(jù)他們?nèi)〉玫某煽儯▎挝唬悍郑瑵M分100分)繪制了如下莖葉圖,記成績不低于70分者為“成績優(yōu)良”.
(1)分別估計甲、乙兩個班“成績優(yōu)良”的概率;
(2)根據(jù)莖葉圖判斷哪個班的學習效果更好?并從兩個角度來說明理由.
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【題目】垃圾分類,是指按一定規(guī)定或標準將垃圾分類儲存、分類投放和分類搬運,從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動的總稱.分類的目的是提高垃圾的資源價值和經(jīng)濟價值,力爭物盡其用.2019年6月25日,生活垃圾分類制度入法.到2020年底,先行先試的46個重點城市,要基本建成垃圾分類處理系統(tǒng);其他地級城市實現(xiàn)公共機構生活垃圾分類全覆蓋.某機構欲組建一個有關“垃圾分類”相關事宜的項目組,對各個地區(qū)“垃圾分類”的處理模式進行相關報道.該機構從600名員工中進行篩選,篩選方法:每位員工測試,,三項工作,3項測試中至少2項測試“不合格”的員工,將被認定為“暫定”,有且只有一項測試“不合格”的員工將再測試,兩項,如果這兩項中有1項以上(含1項)測試“不合格”,將也被認定為“暫定”,每位員工測試,,三項工作相互獨立,每一項測試“不合格”的概率均為.
(1)記某位員工被認定為“暫定”的概率為,求;
(2)每位員工不需要重新測試的費用為90元,需要重新測試的總費用為150元,除測試費用外,其他費用總計為1萬元,若該機構的預算為8萬元,且該600名員工全部參與測試,問上述方案是否會超過預算?請說明理由.
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