Question

9．漳州水仙鱗莖碩大，箭多花繁，色美香郁，素雅娟麗，有“天下水仙數(shù)漳州”之美譽(yù)．現(xiàn)某水仙花雕刻師受雇每天雕刻250粒水仙花，雕刻師每雕刻一粒可賺1.2元，如果雕刻師當(dāng)天超額完成任務(wù)，則超出的部分每粒多賺0.5元；如果當(dāng)天未能按量完成任務(wù)，則按完成的雕刻量領(lǐng)取當(dāng)天工資．
（Ⅰ）求雕刻師當(dāng)天收入（單位：元）關(guān)于雕刻量n（單位：粒，n∈N）的函數(shù)解析式f（n）；
（Ⅱ）該雕刻師記錄了過(guò)去10天每天的雕刻量n（單位：粒），整理得如表：

雕刻量n	210	230	250	270	300
頻數(shù)	1	2	3	3	1

以10天記錄的各雕刻量的頻率作為各雕刻量發(fā)生的概率．
（ⅰ）在當(dāng)天的收入不低于276元的條件下，求當(dāng)天雕刻量不低于270個(gè)的概率；
（ⅱ）若X表示雕刻師當(dāng)天的收入（單位：元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）利用一次函數(shù)的解析式，分別得出當(dāng)n≥250時(shí)，f（n）=250×1.2+1.7×（n-250）；當(dāng)n＜250時(shí)，f（n）=1.2n．
（ II）（�。┰O(shè)當(dāng)天的收入不低于276元為事件A，設(shè)當(dāng)天雕刻量不低于270個(gè)為事件B，由（I）得“利潤(rùn)不低于276元”等價(jià)于“雕刻量不低于230個(gè)”，可得P（A）=0.9，再利用條件概率計(jì)算公式可得．
（ⅱ）由題意得f（210）=252，f（230）=276，f（250）=300，f（270）=334，f（300）=385，X的可能取值為252，276，300，334，385．即可得出分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（I）當(dāng)n≥250時(shí)，f（n）=250×1.2+1.7×（n-250）=1.7n-125，
當(dāng)n＜250時(shí)，f（n）=1.2n，
所以$f（n）=\left\{{\begin{array}{l}{1.7n-125，n≥250}\\{1.2n，\;\;n＜250}\end{array}}\right.（n∈N）$．（4分）
（ II）（ⅰ）設(shè)當(dāng)天的收入不低于276元為事件A，設(shè)當(dāng)天雕刻量不低于270個(gè)為事件B，
由（I）得“利潤(rùn)不低于276元”等價(jià)于“雕刻量不低于230個(gè)”，則P（A）=0.9，
所以$P（{B|A}）=\frac{{P（{AB}）}}{P（A）}=\frac{0.3+0.1}{0.9}=\frac{4}{9}$．（7分）
（ⅱ）由題意得f（210）=252，f（230）=276，f（250）=300，f（270）=334，f（300）=385，X的可能取值為252，276，300，334，385．
所以P（X=252）=0.1，P（X=276）=0.2，P（X=300）=0.3，P（X=334）=0.3，P（X=385）=0.1，（10分）X的分布列為

X	252	276	300	334	385
P	0.1	0.2	0.3	0.3	0.1

∴E（X）=252×0.1+276×0.2+300×0.3+334×0.3+385×0.1=309.1（元）．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式、條件概率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．