Question

6．如圖，在各棱長為2的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC，∠A₁AC=60°．
（1）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；
（2）已知點D是平面ABC內(nèi)一點，且四邊形ABCD為平行四邊形，在直線AA₁上是否存在點P，使DP∥平面AB₁C？若存在，請確定點P的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）作A₁H⊥AC，由面面垂直性質(zhì)定理得A₁H⊥底面ABC，故可求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高，結(jié)合體積公式能求出解．
（2）連結(jié)AD，CD，A₁D，可證得四邊形A₁B₁CD是平行四邊形，從而A₁D∥B₁C，由線面平行判定定理可得結(jié)論．

解答 解：（1）作A₁H⊥AC，∵側(cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC，∴A₁H⊥底面ABC，
又∵∠A₁AC=60°，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中各棱長為2，
∴A₁H=AA₁sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積：
V=A₁H×S_△ABC=$\sqrt{3}×（\frac{1}{2}×2×2×sin60°）$=3．
（2）在直線AA₁上當(dāng)點P與A₁重合時，DP∥平面AB₁C．
理由如下：
連結(jié)AD、CD、A₁D，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB$\underset{∥}{=}$CD，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形ABB₁A₁是平行四邊形，
∴AB$\underset{∥}{=}$A₁B₁，
∴A₁B₁$\underset{∥}{=}$CD，∴四邊形A₁B₁CD是平行四邊形，
∴A₁D∥B₁C，
∵B₁C?平面AB₁C，A₁D?平面AB₁C，
∴A₁D∥平面AB₁C，∴DP∥平面AB₁C．

點評 本題考查三棱錐體積的求法及應(yīng)用，考查滿足線面平行的點的位置的確定與證明，考查空間中線線、線面、面面間關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．