Question

【題目】已知函數(shù)（其中且）.

（1）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；

（2）若，求的值域.

Answer 1

【答案】（1）非奇非偶函數(shù)，見解析； （2）當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?/span>；當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?/span>.

【解析】

（1）先求出函數(shù)的定義域，然后結(jié)合和的關(guān)系式，即可作出判定與證明.

（2）分和可得原函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的值域.

（1）由題意，函數(shù)（其中且）的定義域?yàn)?/span>，

又由，

若為偶函數(shù)，則恒成立，故即，矛盾；

若為奇函數(shù)，則恒成立，故，

整理得到；，此方程最多有兩解，矛盾，

所以函數(shù)（實(shí)數(shù)且）為非奇非偶函數(shù).

（2）由題意，當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，且，所以函數(shù)的值域?yàn)?/span>；

當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?/span>；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?/span>.