8.在某海濱城市附近海面有一臺風(fēng),據(jù)監(jiān)測,當(dāng)前臺風(fēng)中心位于城市A(看做一點)的東偏南θ角方向$({cosθ=\frac{{\sqrt{2}}}{10}})$,300km的海面P處,并以20km/h的速度向西偏北45°方向移動.臺風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域,當(dāng)前半徑為60km,并以10km/h的速度不斷增大.
(1)問10小時后,該臺風(fēng)是否開始侵襲城市A,并說明理由;
(2)城市A受到該臺風(fēng)侵襲的持續(xù)時間為多久?

分析 (1)建立直角坐標(biāo)系,…(1分),則城市A(0,0),當(dāng)前臺風(fēng)中心$P({30\sqrt{2},-210\sqrt{2}})$,設(shè)t小時后臺風(fēng)中心P的坐標(biāo)為(x,y),由題意建立方程組,能求出10小時后,該臺風(fēng)還沒有開始侵襲城市A.
(2)t小時后臺風(fēng)侵襲的范圍可視為以$P({30\sqrt{2}-10\sqrt{2t},-210\sqrt{2}+10\sqrt{2}t})$為圓心,60+10t為半徑的圓,由此利用圓的性質(zhì)能求出結(jié)果.

解答 解:(1)如圖建立直角坐標(biāo)系,…(1分)
則城市A(0,0),當(dāng)前臺風(fēng)中心$P({30\sqrt{2},-210\sqrt{2}})$,
設(shè)t小時后臺風(fēng)中心P的坐標(biāo)為(x,y),
則$\left\{\begin{array}{l}x=30\sqrt{2}-10\sqrt{2}t\\ y=-210\sqrt{2}+10\sqrt{2}t\end{array}\right.$,此時臺風(fēng)的半徑為60+10t,
10小時后,|PA|≈184.4km,臺風(fēng)的半徑為r=160km,
∵r<|PA|,…(5分)
∴10小時后,該臺風(fēng)還沒有開始侵襲城市A.…(1分)
(2)由(1)知t小時后臺風(fēng)侵襲的范圍可視為以$P({30\sqrt{2}-10\sqrt{2t},-210\sqrt{2}+10\sqrt{2}t})$為圓心,60+10t為半徑的圓,
若城市A受到臺風(fēng)侵襲,
則$\sqrt{{{[{({30\sqrt{2}-10\sqrt{2}t})-0}]}^2}+{{[{({-210\sqrt{2}+10\sqrt{2}t})-0}]}^2}}≤({60+10t})$,
∴300t2-10800t+86400≤0,即t2-36t+288≤0,…(5分)
解得12≤t≤24…(1分)
∴該城市受臺風(fēng)侵襲的持續(xù)時間為12小時.…(1分)

點評 本題考查圓的性質(zhì)在生產(chǎn)生活中的實際應(yīng)用,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意挖掘題意中的隱含條件,合理地建立方程.

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