Question

1．同時滿足下列兩個性質的函數(shù)f（x）稱為“H函數(shù)”：
①函數(shù)f（x）在定義域上是單調函數(shù)；
②函數(shù)f（x）在定義域內存在區(qū)間[a，b]，使得f（x）在[a，b]的值域也為[a，b]．
（1）判斷函數(shù)y=x³是否為“H函數(shù)”，若不是，請說明理由；若是，求滿足條件②的區(qū)間[a，b]中端點a，b的值
（2）若函數(shù)y=lgx-t是“H函數(shù)”，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可以看出y=x³為增函數(shù)，滿足條件①，而方程x³=x有兩個不同的解，從而滿足條件②，從而可寫出所有滿足②的區(qū)間[a，b]；可得端點a，b的值．
（2）函數(shù)y=lgx-t是“H函數(shù)”，由lgx為增函數(shù)，滿足條件①，x=lgx-t有兩個不同的解，滿足條件②，求實數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)y=x³是增函數(shù)，滿足條件①，而方程x³=x有兩個不同的解，從而滿足條件②，
解得x=±1．
滿足②的區(qū)間[-1，1]，
故而a=-1，b=1．
（2）函數(shù)y=lgx-t是“H函數(shù)”，由lgx為增函數(shù)，滿足條件①，x=lgx-t有兩個不同的解，滿足條件②，
即函數(shù)y=lgx與y=x+t有兩個交點．
y=g（x）=lgx，
g′（x）=$\frac{1}{xln10}$，
∴k=1=$\frac{1}{xln10}$，
解得：x=$\frac{1}{ln10}$=lge，
故得切點為（lge，lg（lge））
則t=lg（lge）-lge
要使函數(shù)y=lgx與y=x+t有兩個交點，
則t滿足：t＜lg（lge）-lge
故得實數(shù)t的取值范圍（-∞，lg（lge）-lge）．

點評 本題屬于信息給予題，題目信息量較大，綜合考查了函數(shù)的基本性質：單調性、最值、方程的根的判斷及零點等知識，解題關鍵就是如何準確理解給定的有效信息