【題目】已知點(diǎn)是橢圓C:上的一點(diǎn),橢圓C的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù),斜率為直線l交橢圓C于B,D兩點(diǎn),且A、B、D三點(diǎn)互不重合.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若分別為直線AB,AD的斜率,求證:為定值。
【答案】(1)(2)詳見(jiàn)解析
【解析】
(1)根據(jù)橢圓的定義和幾何性質(zhì),建立方程,即可求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線BD的方程為,代入橢圓方程,設(shè)D(x1,y1),B(x2,y2),直線AB、AD的斜率分別為:,則,由此導(dǎo)出結(jié)果.
(1)由題意,可得e==,代入A(1,)得,
又,解得,
所以橢圓C的方程.
(2)證明:設(shè)直線BD的方程為y=x+m,
又A、B、D三點(diǎn)不重合,∴,
設(shè)D(x1,y1),B(x2,y2),
則由得4x2+2mx+m2-4=0
所以△=-8m2+64>0,所以<m<.
x1+x2=-m,
設(shè)直線AB、AD的斜率分別為:kAB、kAD,
則kAD+kAB=
=
所以kAD+kAB=0,即直線AB,AD的斜率之和為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn) ,兩個(gè)焦點(diǎn)為(,0),(,0).
(1)求橢圓的方程;
(2)求以點(diǎn) 為中點(diǎn)的弦所在的直線方程,并求此時(shí)的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2018年全國(guó)數(shù)學(xué)奧賽試行改革:在高二一年中舉行5次全區(qū)競(jìng)賽,學(xué)生如果其中2次成績(jī)達(dá)全區(qū)前20名即可進(jìn)入省隊(duì)培訓(xùn),不用參加其余的競(jìng)賽,而每個(gè)學(xué)生最多也只能參加5次競(jìng)賽.規(guī)定:若前4次競(jìng)賽成績(jī)都沒(méi)有達(dá)全區(qū)前20名,則第5次不能參加競(jìng)賽.假設(shè)某學(xué)生每次成績(jī)達(dá)全區(qū)前20名的概率都是,每次競(jìng)賽成績(jī)達(dá)全區(qū)前20名與否互相獨(dú)立.
(1)求該學(xué)生進(jìn)入省隊(duì)的概率.
(2)如果該學(xué)生進(jìn)入省隊(duì)或參加完5次競(jìng)賽就結(jié)束,記該學(xué)生參加競(jìng)賽的次數(shù)為,求的分布列及的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】三角形面積為,,,為三角形三邊長(zhǎng),為三角形內(nèi)切圓半徑,利用類(lèi)比推理,可以得出四面體的體積為( )
A.
B.
C. (為四面體的高)
D. (其中,,,分別為四面體四個(gè)面的面積,為四面體內(nèi)切球的半徑,設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為,則球心到四個(gè)面的距離都是)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校高三年級(jí)學(xué)生會(huì)主席團(tuán)有共有名同學(xué)組成,其中有名同學(xué)來(lái)自同一班級(jí),另外兩名同學(xué)來(lái)自另兩個(gè)不同班級(jí).現(xiàn)從中隨機(jī)選出兩名同學(xué)參加會(huì)議,則兩名選出的同學(xué)來(lái)自不同班級(jí)的概率為( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】不期而至的新冠肺炎疫情,牽動(dòng)了億萬(wàn)國(guó)人的心,全國(guó)各地紛紛捐贈(zèng)物資馳援武漢.有一批捐贈(zèng)物資需要通過(guò)輪船沿長(zhǎng)江運(yùn)送至武漢,已知該運(yùn)送物資的輪船在航行中每小時(shí)的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比,已知當(dāng)速度為10海里/時(shí)時(shí),燃料費(fèi)是6元/時(shí),而其他與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用是96元/時(shí),問(wèn)當(dāng)輪船的速度是多少時(shí),航行1海里所需的費(fèi)用總和最?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線:和⊙ ,過(guò)拋線上一點(diǎn) 作兩條直線與⊙相切于A、B兩點(diǎn),分別交拋物線于E、F兩點(diǎn),圓心點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為 .
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)當(dāng) 的角平分線垂直x軸時(shí),求直線EF的斜率;
(Ⅲ)若直線AB在軸上的截距為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,左頂點(diǎn)為,過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線和,分別交直線于,兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求的面積的最小值;
(Ⅲ)設(shè)直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,橢圓的右頂點(diǎn)為,求證:,,三點(diǎn)共線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“吸煙有害健康,吸煙會(huì)對(duì)身體造成傷害”,哈爾濱市于2012年5月31日規(guī)定室內(nèi)場(chǎng)所禁止吸煙.美國(guó)癌癥協(xié)會(huì)研究表明,開(kāi)始吸煙年齡X分別為16歲、18歲、20歲和22歲者,其得肺癌的相對(duì)危險(xiǎn)度Y依次為15.10,12.81,9.72,3.21;每天吸煙支數(shù)U分別為10,20,30者,其得肺癌的相對(duì)危險(xiǎn)度V分別為7.5,9.5和16.6,用表示變量X與Y之間的線性相關(guān)系數(shù),用r2表示變量U與V之間的線性相關(guān)系數(shù),則下列說(shuō)法正確的是( )
A.r1=r2B.r1>r2>0
C.0<r1<r2D.r1<0<r2
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