Question

14．設(shè)a_n=3ⁿ，求證：$\frac{1}{2}$[1-（$\frac{1}{3}$）ⁿ]＜$\frac{1}{{a}_{1}-1}$+$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$＜1．

Answer 1

分析 $\frac{1}{{a}_{1}-1}$+$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3-1}+\frac{1}{{3}^{2}-1}$+$…+\frac{1}{{3}^{n}-1}$＞$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$，$\frac{1}{{a}_{1}-1}$+$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3-1}+\frac{1}{{3}^{2}-1}$+$…+\frac{1}{{3}^{n}-1}$＜$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$，由此利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式能證明$\frac{1}{2}$[1-（$\frac{1}{3}$）ⁿ]＜$\frac{1}{{a}_{1}-1}$+$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$＜1．

解答 證明：∵a_n=3ⁿ，
∴$\frac{1}{{a}_{1}-1}$+$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3-1}+\frac{1}{{3}^{2}-1}$+$…+\frac{1}{{3}^{n}-1}$
＞$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$[1-（$\frac{1}{3}$）ⁿ]．
$\frac{1}{{a}_{1}-1}$+$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3-1}+\frac{1}{{3}^{2}-1}$+$…+\frac{1}{{3}^{n}-1}$
＜$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1．
∴$\frac{1}{2}$[1-（$\frac{1}{3}$）ⁿ]＜$\frac{1}{{a}_{1}-1}$+$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意放縮法的合理運(yùn)用．