7.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且$\frac{2b-c}{a}$=$\frac{cosC}{cosA}$.
(1)求角A的值;
(2)若△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$,且a=$\sqrt{5}$,求△ABC的周長.

分析 (1)利用正弦定理,結(jié)合和角的正弦公式,即可得出結(jié)論.
(2)由已知利用三角形面積公式可求bc的值,利用余弦定理可求b+c的值,即可得解.

解答 解:(1)由$\frac{2b-c}{a}$=$\frac{cosC}{cosA}$,
利用正弦定理可得2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC,
化為2sinBcosA=sin(C+A)=sinB,
∵sinB≠0,
∴cosA=$\frac{1}{2}$,
∵A∈(0,π),
∴A=$\frac{π}{3}$.
(2)∵A=$\frac{π}{3}$,△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc×$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴bc=2,
∵a=$\sqrt{5}$,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得:5=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-6,
∴解得:b+c=$\sqrt{11}$,
∴△ABC的周長l=a+b+c=$\sqrt{5}$+$\sqrt{11}$.

點(diǎn)評 本題考查正弦定理,和角的正弦公式,三角形面積公式,余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊系列答案
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