分析 (I)利用f′(1)=0得到a,并利用極值的充分條件進行檢驗即可;
(II)由題意可得:xlnx-ax2-x<-x,由x>0,可化為a>$\frac{lnx}{x}$,設(shè)h(x)=$\frac{lnx}{x}$,利用導(dǎo)數(shù)即可得到極值及其最值;
解答 解:(I)f′(x)=lnx-2ax,(x>0).
∵函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,∴f′(1)=0,即0-2a=0,解得a=0.
∴f′(x)=lnx,
當(dāng)x∈(0,1)時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(1,+∞)時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
∴函數(shù)f(x)在x=1時取得極小值.
(II)由題意可得:xlnx-ax2-x<-x,
∴xlnx-ax2<0,
∵x>0,∴a>$\frac{lnx}{x}$.
設(shè)h(x)=$\frac{lnx}{x}$,則h′(x)=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$,
令h′(x)>0,解得0<x<e,∴h(x)在區(qū)間(0,e)上單調(diào)遞增;
令h′(x)<0,解得e<x,∴h(x)在區(qū)間(e,+∞)上單調(diào)遞減.
∴h(x)在x=e時取得極大值,即最大值,h(e)=$\frac{1}{e}$.
∴a>$\frac{1}{e}$.
點評 熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、把問題等價轉(zhuǎn)化等是解題的關(guān)鍵.
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A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | D. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ |
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A. | 蒙中高一(一)班的全體男生 | B. | 蒙中全校學(xué)生家長的全體 | ||
C. | 李明的所有家人 | D. | 王明的所有好朋友 |
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