分析 由G為三角形ABC重心,得到$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$,表示出$\overrightarrow{GC}$,代入已知等式中,整理后利用平面向量基本定理用c表示出a與b,設出c,得到a與b,根據(jù)余弦定理表示出cos∠ACB,將三邊長代入求出cos∠ACB的值,利用同角三角函數(shù)間的基本關系即可求出sin∠ACB的值
解答 解:∵G為△ABC的重心,
∴$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$,即$\overrightarrow{GC}$=-$\overrightarrow{GA}$-$\overrightarrow{GB}$,
代入35a$\overrightarrow{GA}$+21b$\overrightarrow{GB}$+15c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$整理得:(35a-15c)$\overrightarrow{GA}$+(21b-15c)$\overrightarrow{GB}$=0,
∵$\overrightarrow{GA}$,$\overrightarrow{GB}$不共線,
∴由平面向量基本定理得:35a-15c=0,21b-15c=0,
即a=$\frac{3}{7}$ c,b=$\frac{5}{7}$ c,
令c=7t,則a=3t,b=5t,
根據(jù)余弦定理得:cos∠ACB=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{(9+25-49){t}^{2}}{30{t}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$,
∵∠ACB為三角形內(nèi)角,
∴sin∠ACB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
故答案為:$\frac{\sqrt{3}}{2}$
點評 此題考查了余弦定理,平面向量基本定理,以及同角三角函數(shù)間的基本關系,熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 10 | B. | 12 | C. | 8+4$\sqrt{2}$ | D. | 12+4$\sqrt{2}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | B. | $-\sqrt{3}$ | C. | $±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | D. | $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com